Оценка оператора дробного интегрирования для нерегулярных мартингалов
|
Классическое неравенство Харди-Литтлвуда-Соболева играет важную роль в анализе (см, например, главу 5 в [5]). Оно утверждает, что потенциал Рисса порядка а, т.е. мультипликатор Фурье с символом | • |_", отображает Lp (Rd) в Lq(Rd) (где 1 < p < q < 1 и p — р = ^). Потенциал Рисса иногда называют оператором дробного интегрирования. Как и многие другие объекты гармонического анализа, дробное интегрирование имеет вероятностную интерпретацию. В статье [8], C. Watari перенёс это понятие на случай диадических мартингалов и доказал соответствующую версию неравенства Харди-Литтлвуда-Соболева; смежные результаты можно найти также в статьях [1] и [2]. В статье [3] эти идеи обобщаются на случай регулярных фильтраций и мартингалов. В статье [6] предложена версия неравенства Харди- Литтлвуда-Соболева для произвольных мартингалов, без каких-либо условий регулярности. Чтобы сформулировать результаты, введём обозначения.
Рассмотрим вероятностное пространство (Q, Е, P) без атомов. Без ограничения общности можно считать, что Q = [0; 1], Е — его борелевская а-алгебра, и P — мера Лебега. Пусть F = {Fra}n=0 — фильтрация на нём. Предположим, что каждая а-алгебра Fn порождена конечным числом атомов — множество этих атомов обозначим символом AFn, — и объединение а-алгебр U Fn порождает Е.
Пусть F — мартингал, согласованный с фильтрацией F. Для натурального n обозначим символом &Fn его мартингальные разности: &Fn = Fn — Fn_1. Также определим функции bn следующим образом:
bn = X P(!)X! •
!2AFn
Для вещественного числа а 2 (0,1) рассмотрим оператор дробного интегрирования IA, определённый следующим образом:
iA[F ] = X bn .Vn=1
Нас будет интересовать случай, когда F = {Fn}n=0 является мартингалом Леви, т.е. когда для некоторой функции F1 выполнены равенства
Fn = E(F1 |Fn).
Далее мы будем отождествлять мартингал F и функцию F1; в частности, можно считать, что IA отображает не мартингал F, а пару (F1, F) из функции и фильтрации.
В работе [6] была доказана следующая теорема.
Теорема 1. Пусть а 2 (0,1) и 1 < p < q < 1 — вещественные числа, причём p — р = а. Тогда оператор IA действует непрерывно из Lp в Lp.
Моя работа посвящена доказательству немного изменённой версии теоремы (1) с получением явной оценки на норму оператора. Прежде, чем сформулировать основной результат работы, введём дополнительное определение.
Определение. Пусть " 2 (0; 1) — вещественное число. Будем говорить, что фильтрация F "-регулярна, если для любого атома ш 2 AFn и его разбиения ш = | | шг, где шг 2 AFn+1, выполнено неравенство
Xр(ш<)3 £ (1 - ")Р(ш)3■ (1)
г
Будем называть мартингал F "-регулярным, если он согласован с "-регулярной фильтрацией. Множество "-регулярных мартингалов обозначим символом Ms.
Неравенство Рг Р(шг)3 < Р(ш) 3 выполняется для любого разбиения, но обращается в равенство только тогда, когда все атомы шг, кроме одного, имеют нулевую меру. Таким образом, условие "-регулярности означает, что наша фильтрация разбивает атомы не слишком неравномерно.
Мы готовы сформулировать основной результат работы.
Теорема 2. Пусть а = 1, p =2, q = 4, " 2 (0; 1) и у 2 R. Кроме того, пусть F — такой "-регулярный мартингал, что EF = x, E|F|2 = z. Тогда выполнено неравенство
El?/ + IATFlI4 < id + C(v — зб/13 + D(? — ■t2'}2 (2}
E|y + 2a 1 ]| E y + C (z x )3 |y| + D(z x ) , (2)
где C > 5 и D > 130C3.
1-(1-e)3
Пусть IAs — это оператор IA, суженый на Ms. Отметим прямое следствие теоремы (2).
Следствие. Пусть а = 1, p =2, q = 4 и " 2 (0; 1). Тогда оператор IA действует непрерывно из Lp Ms в Lq. Более того, ||lAs|| < p 130C3, где C = 5
Рассмотрим вероятностное пространство (Q, Е, P) без атомов. Без ограничения общности можно считать, что Q = [0; 1], Е — его борелевская а-алгебра, и P — мера Лебега. Пусть F = {Fra}n=0 — фильтрация на нём. Предположим, что каждая а-алгебра Fn порождена конечным числом атомов — множество этих атомов обозначим символом AFn, — и объединение а-алгебр U Fn порождает Е.
Пусть F — мартингал, согласованный с фильтрацией F. Для натурального n обозначим символом &Fn его мартингальные разности: &Fn = Fn — Fn_1. Также определим функции bn следующим образом:
bn = X P(!)X! •
!2AFn
Для вещественного числа а 2 (0,1) рассмотрим оператор дробного интегрирования IA, определённый следующим образом:
iA[F ] = X bn .Vn=1
Нас будет интересовать случай, когда F = {Fn}n=0 является мартингалом Леви, т.е. когда для некоторой функции F1 выполнены равенства
Fn = E(F1 |Fn).
Далее мы будем отождествлять мартингал F и функцию F1; в частности, можно считать, что IA отображает не мартингал F, а пару (F1, F) из функции и фильтрации.
В работе [6] была доказана следующая теорема.
Теорема 1. Пусть а 2 (0,1) и 1 < p < q < 1 — вещественные числа, причём p — р = а. Тогда оператор IA действует непрерывно из Lp в Lp.
Моя работа посвящена доказательству немного изменённой версии теоремы (1) с получением явной оценки на норму оператора. Прежде, чем сформулировать основной результат работы, введём дополнительное определение.
Определение. Пусть " 2 (0; 1) — вещественное число. Будем говорить, что фильтрация F "-регулярна, если для любого атома ш 2 AFn и его разбиения ш = | | шг, где шг 2 AFn+1, выполнено неравенство
Xр(ш<)3 £ (1 - ")Р(ш)3■ (1)
г
Будем называть мартингал F "-регулярным, если он согласован с "-регулярной фильтрацией. Множество "-регулярных мартингалов обозначим символом Ms.
Неравенство Рг Р(шг)3 < Р(ш) 3 выполняется для любого разбиения, но обращается в равенство только тогда, когда все атомы шг, кроме одного, имеют нулевую меру. Таким образом, условие "-регулярности означает, что наша фильтрация разбивает атомы не слишком неравномерно.
Мы готовы сформулировать основной результат работы.
Теорема 2. Пусть а = 1, p =2, q = 4, " 2 (0; 1) и у 2 R. Кроме того, пусть F — такой "-регулярный мартингал, что EF = x, E|F|2 = z. Тогда выполнено неравенство
El?/ + IATFlI4 < id + C(v — зб/13 + D(? — ■t2'}2 (2}
E|y + 2a 1 ]| E y + C (z x )3 |y| + D(z x ) , (2)
где C > 5 и D > 130C3.
1-(1-e)3
Пусть IAs — это оператор IA, суженый на Ms. Отметим прямое следствие теоремы (2).
Следствие. Пусть а = 1, p =2, q = 4 и " 2 (0; 1). Тогда оператор IA действует непрерывно из Lp Ms в Lq. Более того, ||lAs|| < p 130C3, где C = 5
Следующая теорема играет главную роль в доказательстве теоремы (2).
Теорема 3. Положим C — —5 х, D — 130C3. Тогда функция
Ф(я, y, z) = y4 + C(z — x2)2y|3 + D(z — x2)2 (19)
удовлетворяет основному неравенству (8) и граничному условию (5).
Доказательство. Тот факт, что функция Ф удовлетворяет граничному условию, очевиден.
Пусть n — натуральное число, и {Pi}n=1 — положительные числа с суммой 1, причём 3
Pi < (1 _ "). Числа {xi}n=1 и {zi}?=1 таковы, что x = Оф Px и z = Pa, причём z — x2 и zi — x2. Введём дополнительные обозначения: a = z — x2 — 0, ai = zi — x2 — 0.
Нетрудно проверить, что
a - X Pa = X px - x2 = X Pi(xi - x)2 > 0. (20)
ii i
Перепишем основное неравенство в новых обозначениях: 1 1 111
,,4 I щ м,2 р, |3 I гщ2 > ц. (/щ в л4 а aw Р/ -г л4 а т',13 иш.'2 гои
y + Cay + Da > 2_^pi {(y + pi (xi_ x)) + Cpi ai y + pi (xi_ x) + Dpiai). (21)
i
Будем доказывать более сильное неравенство: , /1 111
II4 + Ca 2 Р/13 + Da2 > P (Р,| + P 4 |x. — x| )4 + CP 4 a 2 (P,| + p 4 |x. _ x| )3 + DP.a2 (22)
y + Ca y + Da — 2 pi I (y + pi xi x) + Cpi ai (y + pi xi x) + Dpiai J : (22)
i
Раскроем скобки. Заметим, что коэффициент перед y4 в обеих частях неравенства равен 1.
Перепишем неравенство (22) в виде
k3y3 - k2y2 - k1y + k0 — 0,
где (1 X—Л Л 5 1 I х Л Л 5 , ,
a 2 Pi ai ) “ ^2 Pi4 xi “ x;
ii3 3 1
k2 = ^2 Pi2 (xi “ x)2 + 3C Pi xi - xai2,
^2 7 * 7 1 (24)
4 3 4 22n>1 t: 7 pi (xi x) + 'JO 7 pi (xi x) ai ;
iik„ = d I a2 _ p2a2 I _ p2(^^ x)4 _ cp2ix^ xi3a2
k0 D I a / J pi ai I / j pi (xj x) C / pi xi x ai .
Оценим каждый коэффициент в отдельности.
Лемма 6 (Оценка k3). Если C > 5—г, то
1-(1-")2
Доказательство. Оценим отрицательное слагаемое с помощью неравенства КБШ:
В / V
4 X Pi jxi - x< 4 f X Pi(xi - x)2 )
i i/
С другой стороны, в силу того же КБШ,
5 1 2 А2
Х p4 «? < I Х Р« II X Pi2 I
i i / i /
поэтому
г V- 5 1 г fv- A / A2 1 1
«2 “X Pi «2 > « 2 “ (X Pi«i ) ( XPiA > «2 (1 “ (1 “ ") 2 )-
i ijij
Комбинируя оценки (26), (28) и условие на постоянную C, получаем требуемое.
Лемма 7 (Оценка к2).
1
к2 < (3C + 6) (a - XPi«M « • (29)
i
Доказательство. Коэффициент к2 состоит из двух сумм. Оценим их по отдельности:
1
3 / / 2
с ' -Щт.- ~Д2 < с ' /Ч./'™. _ ,-)2 — I ' /3.ZV. I < А I /V — ' /Ч./v. I Д- 1401
6 / Pi (Xi ^Х) *'<- 6 у Pi(^Pi ) 6 1 ^« Pi^«i I **< 6 1 ^a / Pi^«i I ^a ; (30)
ii ii
( 2 / 2 / 2
'Vp. (r._r)2 V^p2^ <3C^^^p« «2
/ Pi (Xi X) I I У Pi «i I < 3C I « / Pi«i I «
ii i
Доказательство. Коэффициент k2 также состоит из двух сумм. Оценим их по отдельности.
Применим неравенство Гёльдера:
7 / V/ V /
4V P4(^x)^ 4 V Фгю1 VP- <4 v P-(x--x)л pi (Xi X) < л I pi (Xi x) i i pi i < л i pi(Xi X)
i i / i / i
3
Требуемая оценка следует из неравенств (36), (37) и (38). □
Теперь мы готовы доказать неравенство (23), а вместе с ним и теорему (3).
Выберем и зафиксируем число C как в лемме (6). Число D выбирается достаточно большим — каким именно, будет понятно из дальнейших рассуждений. По неравенству Коши,
Осталось выбрать значение параметра D. Сравнивая коэффициент в неравенстве (39) с коэффициентом из леммы (7), получаем, что должно выполняться неравенство
з . .. ,1
3 • 2“з (D - C - 1) з > 3C + 6.
Аналогично сравнивая коэффициент в неравенстве (40) с коэффициентом из леммы (8), получаем, что должно выполняться неравенство
i . .. ,2
3 • 2“ з (D - C - 1) з > 3C + 4.
Нетрудно видеть, что D = 16(C + 2)3 + C +1 удовлетворяет обоим требованиям. Впрочем, для более красивого вида можно взять D и побольше, например 130C3 (так как C > 5, то 2C > C + 2 и 2C3 >C +1). □
Теперь мы готовы доказать теорему (2). В самом деле, функция Ф из теоремы (3) удовлетворяет основному неравенству (8) и граничному условию (5). Следовательно, если EF = x и EjF|2 = z, то в силу беллмановской индукции (лемма (5)) выполнено неравенство
E|y + -fAmi4 < B(x,y,z) < *(x,y,z),
что завершает доказательство.
Теорема 3. Положим C — —5 х, D — 130C3. Тогда функция
Ф(я, y, z) = y4 + C(z — x2)2y|3 + D(z — x2)2 (19)
удовлетворяет основному неравенству (8) и граничному условию (5).
Доказательство. Тот факт, что функция Ф удовлетворяет граничному условию, очевиден.
Пусть n — натуральное число, и {Pi}n=1 — положительные числа с суммой 1, причём 3
Pi < (1 _ "). Числа {xi}n=1 и {zi}?=1 таковы, что x = Оф Px и z = Pa, причём z — x2 и zi — x2. Введём дополнительные обозначения: a = z — x2 — 0, ai = zi — x2 — 0.
Нетрудно проверить, что
a - X Pa = X px - x2 = X Pi(xi - x)2 > 0. (20)
ii i
Перепишем основное неравенство в новых обозначениях: 1 1 111
,,4 I щ м,2 р, |3 I гщ2 > ц. (/щ в л4 а aw Р/ -г л4 а т',13 иш.'2 гои
y + Cay + Da > 2_^pi {(y + pi (xi_ x)) + Cpi ai y + pi (xi_ x) + Dpiai). (21)
i
Будем доказывать более сильное неравенство: , /1 111
II4 + Ca 2 Р/13 + Da2 > P (Р,| + P 4 |x. — x| )4 + CP 4 a 2 (P,| + p 4 |x. _ x| )3 + DP.a2 (22)
y + Ca y + Da — 2 pi I (y + pi xi x) + Cpi ai (y + pi xi x) + Dpiai J : (22)
i
Раскроем скобки. Заметим, что коэффициент перед y4 в обеих частях неравенства равен 1.
Перепишем неравенство (22) в виде
k3y3 - k2y2 - k1y + k0 — 0,
где (1 X—Л Л 5 1 I х Л Л 5 , ,
a 2 Pi ai ) “ ^2 Pi4 xi “ x;
ii3 3 1
k2 = ^2 Pi2 (xi “ x)2 + 3C Pi xi - xai2,
^2 7 * 7 1 (24)
4 3 4 22n>1 t: 7 pi (xi x) + 'JO 7 pi (xi x) ai ;
iik„ = d I a2 _ p2a2 I _ p2(^^ x)4 _ cp2ix^ xi3a2
k0 D I a / J pi ai I / j pi (xj x) C / pi xi x ai .
Оценим каждый коэффициент в отдельности.
Лемма 6 (Оценка k3). Если C > 5—г, то
1-(1-")2
Доказательство. Оценим отрицательное слагаемое с помощью неравенства КБШ:
В / V
4 X Pi jxi - x< 4 f X Pi(xi - x)2 )
i i/
С другой стороны, в силу того же КБШ,
5 1 2 А2
Х p4 «? < I Х Р« II X Pi2 I
i i / i /
поэтому
г V- 5 1 г fv- A / A2 1 1
«2 “X Pi «2 > « 2 “ (X Pi«i ) ( XPiA > «2 (1 “ (1 “ ") 2 )-
i ijij
Комбинируя оценки (26), (28) и условие на постоянную C, получаем требуемое.
Лемма 7 (Оценка к2).
1
к2 < (3C + 6) (a - XPi«M « • (29)
i
Доказательство. Коэффициент к2 состоит из двух сумм. Оценим их по отдельности:
1
3 / / 2
с ' -Щт.- ~Д2 < с ' /Ч./'™. _ ,-)2 — I ' /3.ZV. I < А I /V — ' /Ч./v. I Д- 1401
6 / Pi (Xi ^Х) *'<- 6 у Pi(^Pi ) 6 1 ^« Pi^«i I **< 6 1 ^a / Pi^«i I ^a ; (30)
ii ii
( 2 / 2 / 2
'Vp. (r._r)2 V^p2^ <3C^^^p« «2
/ Pi (Xi X) I I У Pi «i I < 3C I « / Pi«i I «
ii i
Доказательство. Коэффициент k2 также состоит из двух сумм. Оценим их по отдельности.
Применим неравенство Гёльдера:
7 / V/ V /
4V P4(^x)^ 4 V Фгю1 VP- <4 v P-(x--x)л pi (Xi X) < л I pi (Xi x) i i pi i < л i pi(Xi X)
i i / i / i
3
Требуемая оценка следует из неравенств (36), (37) и (38). □
Теперь мы готовы доказать неравенство (23), а вместе с ним и теорему (3).
Выберем и зафиксируем число C как в лемме (6). Число D выбирается достаточно большим — каким именно, будет понятно из дальнейших рассуждений. По неравенству Коши,
Осталось выбрать значение параметра D. Сравнивая коэффициент в неравенстве (39) с коэффициентом из леммы (7), получаем, что должно выполняться неравенство
з . .. ,1
3 • 2“з (D - C - 1) з > 3C + 6.
Аналогично сравнивая коэффициент в неравенстве (40) с коэффициентом из леммы (8), получаем, что должно выполняться неравенство
i . .. ,2
3 • 2“ з (D - C - 1) з > 3C + 4.
Нетрудно видеть, что D = 16(C + 2)3 + C +1 удовлетворяет обоим требованиям. Впрочем, для более красивого вида можно взять D и побольше, например 130C3 (так как C > 5, то 2C > C + 2 и 2C3 >C +1). □
Теперь мы готовы доказать теорему (2). В самом деле, функция Ф из теоремы (3) удовлетворяет основному неравенству (8) и граничному условию (5). Следовательно, если EF = x и EjF|2 = z, то в силу беллмановской индукции (лемма (5)) выполнено неравенство
E|y + -fAmi4 < B(x,y,z) < *(x,y,z),
что завершает доказательство.
Содержание бакалаврской работы - Оценка оператора дробного интегрирования для нерегулярных мартингалов
Выдержки из бакалаврской работы - Оценка оператора дробного интегрирования для нерегулярных мартингалов