Интерес изучения теории рекордов понятен из самого названия дисциплины. Мы часто слышим об установке новых рекордов в самых разных областях. Построение связанной с этим подробной теории может быть полезным в разработке соответствующих статистических моделей и прогнозировании.
Работа посвящена изучению поведения вероятностных распределений рекордных случайных величин с некоторыми дополнительными условиями.
Пусть нам дана последовательность случайных величин {Xj}jeN. Классическими (верхними) рекордными моментами и (верхними) рекордными величинами называются величины L(n) и X(п), определяемые рекурсивно:
L(1) = 1, X (1) = X1,
L(ri) = min {j > L(n — 1) | Xj > X(п — 1)} , п = 2, 3,...,
X(п) = XL(ra) = max{Xi,X2,... ,XL(ra)} , п = 1, 2,...
Таким образом элемент Xn называется верхним рекордом, если
Xn > max{X1, X2,..., Xra-1} и нижним рекордом, если Xn < min{X1, X2,..., Xra-1}.
Имеет смысл рассматривать только верхние рекорды, потому что результаты для нижних рекордов следуют из верхних, если рассмотреть последовательность Yi = — Xj.
Будет полезным также введение рекордных индикаторов {^1, (2,...}. Здесь (i = 1, если Xi > max{X1, X2,..., Xi-1} и (i = 0 иначе.
Существует много результатов, посвященных классическим рекордам. А также несколько способов отклонения в сторону неклассических, например переход к зависимым или неодинаково распределенным случайным величинам в исходной последовательности или изменение рекордной модели и рассмотрение рекордов с превышениями или ограничениями, как представлено в [1] и [3], а также в следующих параграфах. В этой работе представлены результаты рассмотрения рекордных схем для мультипликативных превышений и ограничений.
В данной работе были представлены некоторые новые рекордные модели. Если в классических определениях верхние рекордные значения появляются в момент, когда очередная случайная величина просто (или с какими-то ограничениями) превышает предыдущий рекорд, то в рассматриваемых моделях для того, чтобы Х был новой рекордной величиной, должны выполняться соотношения вида Хп > С тах{Х1,Х2,..., Хп-1} или max{X1,X2,... , Xra-1} < Xn < Cmax{X1,X2,... ,Xn-1}, где C > 1 - некоторая константа.
Также особое внимание было уделено распределению Парето, в случае которого рекордные величины представляются в виде произведения независимых одинаково распределенных случайных величин.
