Инвариантами алгебраических многообразий могут выступать категории. Важной и очень естественной категорией, ассоциированной с алгебраическим многообразием X, является абелева категория Coh(X) когерентных пучков на X.
Отправной точкой для данной работы стало наблюдение, что при конечном бираци- ональном морфизме многообразий f : X Y функтор прямого образа f* : Coh(X) Coh(Y) является строго полным вложением категории T(X) С Coh(X) пучков свободных от кручения на X в категорию T(Y) С Coh(Y) пучков свободных от кручения на Y. Многообразие Y, образ конечного бирационального морфизма, можно рассматривать, как X с дополнительными особенностями, будем называть Y особой моделью X. Различие между категориями Coh(X) и Coh(Y) связано с особенностями, которые появляются у Y . Возникает идея собрать в одной категории информацию обо всех возможных особых моделях X. Оказывается, что на этом пути более естественно рассматривать конечные бирациональные морфизмы, которые задают биекцию на точках многообразий. Такие особые модели образуют категорию CX.
В данной работе определяется и изучается категория Coh(CX), ассоциированная с алгебраической кривой X. Эта категория является индуктивным 2-пределом категорий когерентных пучков на особых моделях X. Соответствующего предела кривых в категории схем не существует, однако, если бы такая предельная схема существовала, то её было бы справедливо называть "максимально вырожденной моделью"X. Поэтому можно неформально думать о категории Coh(Cx), как о "максимально вырожденной модели" кривой X .
В разделе 2 доказывается, что категория CX является направленным множеством, а также обсуждается общее описание конечных бирациональных морфизмов кривых, данное в книге [1] Ж.-П. Серра.
В разделе 3 доказывается, что функтор прямого образа при конечном бирациональном морфизме f : Y1 Y2 является строго полным на подкатегории T(Y1) С Coh(Y1) пучков свободных от кручения, а также строгим и строго точным на всей категории Coh(Y1).
Раздел 4 посвящён определению предельной категории Coh(CX). Даются явные описания её объектов и множеств морфизмов между ними. Определяются подкатегории T(CX) и F(Cx) пучков кручения и пучков свободных от кручения соответственно, а также определяется функтор HomCoh(CX) локальных Нэт’ов.
В разделе 5 определён забывающий функтор U : Coh(CX) ShAb(X), показано, что
категория Coh(Cx) абелева и функтор U строгий и строго точный. Затем доказано, что (T(Cx),F(CX)) - пара кручения в Coh(CX), категория T(CX) эквивалентна фжех Vectk, и пучки кручения - инъективные объекты Coh(CX). В частности, пучки небоскрёбы являются исключительными объектами в Coh(Cx).
Далее, в разделе 6 изучаются гомологические свойства предельной категории. Доказано, что для каждой пары F, G 2 Coh(CX) выполнено
Ext^c*) (F, G) = lta ExtY (F, G)
{Y2C* |F,GeCoh(r)}
и, как следствие, 2-limDb(Coh(Y)) = Db(Coh(CX)). Доказано существование в предельной -c*
категории спектральной последовательности "от локального к глобальному".
В разделе 7 приведено необходимое в дальнейшем вычисление алгебры
ExtOYn;x (OX;X ®OX, OX;X ®Ox)
для кривой Yn высоты 1. Этот результат представляет самостоятельный интерес.
Наконец, последний раздел содержит основные результаты этой работы. Показано, что конечный бирациональный биективный морфизм f : Y Z задаёт вложение ExtX (F, G)
ExtZ(F, G). Далее доказано, что для гладкой кривой X категория Coh(CX) имеет глобальную гомологическую размерность равную 1, что означает, что в каком-то смысле "максимально особая кривая" Coh(Cx) является гладкой. Также посчитаны явно ExtCoh(Cx)(Ox, OX) и некоторые другие пучки локальных Ext’ca, что представляет прямой интерес для изучения и описания категории Db(Coh(Cx)). И в конце высказана гипотеза о глобальной гомологической размерности категории Сх в случае многообразий произвольной размерности.
Благодарности. Автор выражает глубокую благодарность д.ф.-м.н. А. И. Бондалу за научное руководство, многочисленные обсуждения и поддержку.
Наконец, последний раздел содержит основные результаты этой работы. Показано, что конечный бирациональный биективный морфизм f : Y Z задаёт вложение ExtX (F, G)
ExtZ(F, G). Далее доказано, что для гладкой кривой X категория Coh(CX) имеет глобальную гомологическую размерность равную 1, что означает, что в каком-то смысле "максимально особая кривая" Coh(Cx) является гладкой. Также посчитаны явно ExtCoh(Cx)(Ox, OX) и некоторые другие пучки локальных Ext’ca, что представляет прямой интерес для изучения и описания категории Db(Coh(Cx)). И в конце высказана гипотеза о глобальной гомологической размерности категории Сх в случае многообразий произвольной размерности.
Благодарности. Автор выражает глубокую благодарность д.ф.-м.н. А. И. Бондалу за научное руководство, многочисленные обсуждения и поддержку.
