1. Введение 3
2. Постановка задачи в R2 4
3. Оценка в R2 4
4. Пример в R2 5
5. Решение задачи для выпуклых множеств в R2 8
6. Постановка задачи в Rn 16
Список литературы 22
Неравенство Брунна-Минковского
(1) |A + Б|1/n > |A|1/n + Б1/п
(здесь A,B — непустые компакты в Rn, | • | обозначает меру Лебега) — одно из самых важных геометрических неравенств, имеющих множество приложений и обобщений, в том числе относящихся к дискретным задачам аддитивной комбинаторики, в которых A, Б — конечные множества.
Равенство в (1) достигается для положительно-гомотетичных выпуклых тел (а также в тривиальных случаях, когда A или Б — точка или |A + Б | = 0, см. напр. [6]).
Когда Б и A связаны таким образом, что гомотетичность исключается, неравенство (1) оказывается возможным усилить. В недавней работе [7] доказано, что если Б = T A, где T — фиксированный линейный эндоморфизм Rn, а A — переменный компакт единичной меры Лебега, то имеет место соотношение
inf |A + TA| = Я(T) := П(1 + |А,|),
i=1
где А1,... , Ап — собственные числа T (с учётом алгебраической кратности).
Эта оценка совпадает с даваемой неравенством Брунна - Минковского оценкой (1 + | det T |1/п)п только когда все собственные числа равны по абсолютной величине.
Задачей настоящей работы является продолжение изучения экстремальных задач вида
| У" TA] ^ minZ1
для компактов A единчиной меры и фиксированных линейных операторов T1,... ,TN.
Отметим, что дискретный аналог этой задачи активно изучался [1-5 и др.], но в основном в случаях, для которых неравенство Брунна-Минковского обращается в равенство (сумма гомотетичных образов множества).
Уже в случае нескольких одномерных проектирований непрерывная задача оказывается, как мы видим в дальнейшем, нетривиальной...
Дан компакт A единичной меры в Rn и линейно независимые прямые X1,..., Xn, проходящие через начало координат. Пусть /хл, A - ортогональная проекция A на прямую Х^. Необходимо установить нижнюю и верхнюю оценки на минимальную меру Лебега B = A + n=i Pxk A в зависимости от расположения прямых.
Лемма 6.1. Пусть B - компакт в Rn, а C - компакт, содержащийся на некоторой прямой X. Тогда
в + С >в + С -Рх т В |,
причем если В и С - выпуклые компакты, то в оценке достигается равенство.
Доказательство. Поскольку мера суммы по Минковскому не зависит от параллельного переноса слагаемых, будем считать что прямая X проходит через начало координат. Рассмотрим В как объединение сечений В прямыми параллельными X. При переходе от множества В к множеству В + С мера каждого такого сечения увеличится хотя бы на С и ровно на С, если В и С являются выпуклыми. Значит, разность между мерами В + С и В составляет хотя бы С • РхтВ.
□
Теорема 6.1. Пусть A - компакт единичной меры в Rn, а X1,... ,Xm - набор линейно независимых прямых, проходящих через начало координат. Определим В = A + Д^=1 Ak, где Ak - компактное множество на прямой Xk. Тогда
В > Р/.;п sA • Ak,
Если A - выпуклый компакт, а все A^ - отрезки, то в оценке достигается равенство. Доказательство. Докажем утверждение индукцией по размерности пространства и числу прямых - (n,m). На парах (n,m) порядок лексикографический. Базовый случай соответствует паре (n, 0) и неравенству A > A.
Докажем индукционный переход. Обозначим размерность A как 1 + 1, а число прямых как k + 1, k > 0, 1 > k. В силу леммы 6.1,
A + A1 + ... + Ak+1 > A + A1 + ... + Ak + Ak+1 • РХТ (A + A1 + ... + Ak).
k + 1
Первое слагаемое можно сразу заменить на ^2sc{X. X} Рып(з)т A • хes Ai согласно индукционному предположению. Проекция прямой суммы совпадает с прямой суммой проекций, поэтому Рх± ^(A + A1 + ... + Ak) = Рх± ^A + Рх± ^A1 + ... + Рх± ^Ak. Заметим, что все слагаемые располагаются в одном линейном подпространстве размерности l, Рх± 1A - компакт размерности 1, а все Рх^ 1Ai - компакты, лежащие на k линейно независимых прямых. Поскольку индукционное предположение для пары (1, k) уже доказано, для второго неравенства тоже имеется оценка...
