1 Введение: Телеком-процессы 1
1.1 Система обслуживания 2
1.2 Предельные теоремы для нагрузки 3
2 Главные результаты 4
2.1 Предельная теорема для пуассоновского процесса 5
2.2 Большие уклонения 6
3 Доказательства 7
3.1 Подготовительная часть 8
3.2 Доказательство утверждения 2 9
3.3 Разложение интегрального представления 10
3.8 Доказательство теоремы 7 12
4 Сверхбольшие уклонения
14
4.1 Предварительные вычисления 14
4.2 Переход к дискретной части спектра 15
4.3 Общий результат 19
4.4 Особые случаи 24
5 Список литературы 35
Данные результаты опубликованы в статьях [15] и [16].
Телеком-процессы возникли в замечательной работе И. Кая и М. Такку [9], которые предложили унифицированный подход к моделированию “систем телетрафика” на основе интегральных представлений. Их статья отражает волну интереса к этой теме, см. например, [8, 10, 12, 13, 14] и обзорные статьи с дальнейшими ссылками [5, 6, 7]. Простота механизма зависимости, используемого в модели, позволяет получить четкое представление как о долго-действующей зависимости в одном случае, так и о независимых приращениях в других случаях.
Работа системы представляет собой набор процессов обслуживания. Каждый процесс стартует в некоторый момент s, длится и единиц времени и занимает r единиц ресурса. Количество занятых ресурсов постоянно в течение процесса обслуживания, от момента s до момента s + и. Будем говорить, что процесс обслуживания активен в момент t, если s < t < s + и.
Формальная модель системы обслуживания основана на пуассоновских случайных мерах и выглядит следующим образом. Пусть R := {(s, и, r)} = R х R+ х R+. Каждая точка (s, и, r) соответствует возможному процессу обслуживания со временем старта s, продолжительностью и и требуемыми ресурсами r.
Система характеризуется следующими параметрами:
• А > 0 - интенсивность возникновения процессов обслуживания;
• Fu (би) - распределение продолжительности обслуживания;
• Fr(dr) - распределение количества необходимых ресурсов.
Мгновенная загрузка системы в момент t - это сумма занятых ресурсов по активным в момент t процессам:
W (t) := у rj ^{sj
j
Нас будет интересовать интегральная загрузка на интервале времени [0,t],
Пусть U и R - случайные величины с распределениями Fu и Fr соответственно. Не ограничивая общности, можно считать, что P(R > 0) = P(U > 0) = 1. Обычно предполагается, что эти величины имеют конечную дисперсию или регулярные хвосты. А именно, либо
, _ Сгг
P(U > и) ~ — , и ^ то, 1 < Y < 2, Си > 0, (1)либо EU2 < то. В последнем случае мы формально полагаем у := 2. Аналогично, предполагается либо
P(R > r) ~ -R , r ^ то, 1 < 5 < 2, cR > 0, (2)
либо ER2 < то. В последнем случае формально полагаем 5 := 2.
Поведение системы существенно зависит от параметров у, 5 Е (1,2].
Определим на R меру интенсивности
p,(ds, du, dr) = Xds Fv(du) FR(dr).
Пусть N - соответствующая пуассоновская случайная мера. Многие характеристики системы можно записать в загрузка в момент t есть а интегральная загрузка на
£ W°(т)dr = £ rj' 1{s
r • [s, s + u] 0 [0,t]dN := rlt(s,u)dN.
Здесь | • | обозначает длину интервала, и lt(s, u) := [s, s + u] 0 [0, t] .
Заметим, что W◦(•) является стационарным процессом и его интегралом W*(•) это процесс со стационарными приращениями.
В этом разделе рассматриваются два важных особых случая, которые не покрываются теоремой 13: экспоненциальное и ^-распределение ресурса R.
Теорема 16 Если R = 1, то
log P(Y(t) > к.) = —к. log (K^ (1 + °(1)).
Доказательство:
Верхняя оценка:
п D — 1 (I) (l,r)
При R = 1 мы имеем vt = v откуда
Q [ (eXv — 1 — Av)v(e,r') (dv)
Jo
C& fi
Q A2v2v (l)(dv) + Q exv (l)(dv)
Q J Av v. (Cl v) + Q / e v. ((Z v)
Ciq.A2+ C2q.eX < Cq.fix.
По экспоненциальному неравенству Чебышева получаем
logP(Y(t) > Kt) < inf (Cq.ex — Ak.).
Подставим А := log( ^). Получим
log P(Y(t) > k.) < Ck. — k. log (K^)
= — Kt log (K^ (1 + o(1)).
Нижняя оценка:
Уклонение Yl(t) уровня Kt достигается при осуществлении больше n := [к.] + 1 процессов. Поэтому
e-qt ■
n! ’
-q. + n log q. - log(n!)
(—nlogn + nlogqt) (1 + o(1)), при n ' то
-Kt log (к^)(1+°(1))-
Пользуемся тем, что qt ^ 0 при t ^ то. Это совпадает с верхней оценкой.
Теорема 17 Если R ~ exp(1), то
2. при Ktqt ^ C > 0 верно
qte-Kt(1 + o(1)) < P(Y(t) > к. < (eC — t '(1 + o(1)).
3. при ntqt ^ то верно
. 1 q .
P(Y(t) > xt) = —3/4exP(—xt ' Д^//к/)(1 ' o(1)).
У2я к.
Доказательство:
n
Обозначим Sn := Ri, где R ~ R, н.о.р. с.в.. Тогда
i=1
^ ,.n
P(t) := P(Y+(t) > Mt) = e-qt V P(Sn > Mt).
n!
Распределение Sn имеет плотность
r'n-1
Pn(r) = (n—iji «-^ •...
