1. Abstract 2. Аннотация
3. Введение 3
4. Основные результаты 4
5. Свойства IW и IW 6
5.1. Масштабирование 6
5.2. Конечность вторых моментов 7
5.3. Соотношения между iw и IW 9
5.4. Концентрация 10
6. Асимптотика 12
6.1. Lq сходимость 15
6.2. Cходимость почти наверное 15
6.3. Рост по n 18
7. Заключение 18
Список литературы 18
В одномерном случае натянутая струна определяется следующим образом: Пусть нам дан интервал [0,T] и два непрерывных функциональных ограничения: g1(t) < g2(t), 0 < t < T. Тогда функция h* называется натянутой струной, если она минимизирует следующий функционал, для любой
выпуклой ф: Рф(ь,)= [ Mh'(t))dt 0
по всем абсолютно непрерывным функциям h, удовлетворяющим функциональным неравенствам:
gi(t) < h(t) < g2(t), 0
Среди возможных функционалов энергия J0T h'(t)2dt, вариация /0Тhf(t)|dt, длина траектории /0Т ^/1 + h'(t)2dt. В работе мы будем рассматривать только энергию. Заметим, что для любой строго выпуклой ф минимум функционала Рф существует и единственен, в том числе для энергии.
Данциг в статье [2] упоминает, что натянутые струны обсуждались в 1952 году на Беллмановском семинаре в RAND Corp. в связи с проблемами в оптимальном управлении. Позднее натянутые струны нашли применение встатистике, см. [1] и [6], обработке изображений [8] и теории коммуникации [7, 9].
В работе [4] рассматриваются струны, сопровождающие Винеровский процесс W(t) в полосе постоянной ширины г. В этом случае фунциональные неравенства g1(t), g2(t) принимают вид:
gi(t) = W(t) - r,g2(t) = W(t) + г
и изучается асимптотическое поведение энергии струны при T ^ ж, см. [4, Теоремы 1.1, 1.2]. В статье [5] изучается асимптотическое поведение энергии струн, сопровождающих случайное блуждание, и в [10] обобщаются результаты [4] на полосу переменной ширины.
Мы рассматриваем многомерное обобщение натянутых струн, сопровождающих Винеровский процесс: пусть дан интервал [0, T]. Многомерной натянутой струной, сопровождающей многомерный Винеровский процесс W (t) будем называть функцию h*, минимизирующую следующий функционал:
[ llh'WllR»dt
J0
среди всех абсолютно непрерывных h Е AC ([0, T] ^ Rn), удоволетворяющих условию sup0
Для натянутой струны, сопровождающей одномерный Винеровский процесс, были известны результаты, такие как Lq и п.н. сходимости [4][Теоремы 1.1, 1.2]. В работе мы обобщили их на многомерный Винеровский процесс. Также мы изучили зависимость средней энергии от размерности.
