"Кинетическое огрубление" - феномен, согласно которому при стохастическом росте различных флуктуирующих поверхностей эти самые поверхности становятся со временем все более "шероховатыми" [1]. Примеры физических систем, для которых характерно подобное поведение, включают в себя динамику распространения фронтов дыма, раковых опухолей, бактериальных колоний, распространение холеры и других эпидемий [2]. Таким образом, актуальным представляется изучение различных процессов роста и моделей, предложенных для их описания. Одной из таких моделей является модель Кардара - Паризи - Занга (КПЗ), изначально предложенная для объяснения универсального скей- лингового поведения в различных физических системах [3]. Модель КПЗ, исследованию которой посвящена данная работа, описывается нелинейным стохастическим дифференциальным уравнением с гауссовым случайным шумом, дельта-скоррелированным во времени и пространстве. Поскольку это уравнение получается из чрезвычайно общих соображений, оно описывает широкий класс процессов роста в разнообразных физических системах [3]. Кроме того, модель КПЗ представляет собой простейший пример модели неравновесного критического поведения.
Одним из самых эффективных методов изучения критического поведения является тео- ретико - полевая ренормализационная группа (РГ) [4]. Различные типы критического поведения характеризуются инфракрасно - (ИК-) притягивающими точками уравнений ренормгруппы. Однако для модели КПЗ (в пределах теории возмущений) таким точкам отвечает нефизическая область параметров [3]. По этой причине возникает интерес в изучении различных модификаций КПЗ, включающих в себя рассмотрение другого типа шума в корреляторе, включении взаимодействия с полем скорости, и т.д.
В настоящей работе рассмотрен "замороженный" (не зависящий от времени) случайный шум, предложенный в [5] для моделирования процесса эрозии ландшафта. Известно, что включение подобного типа шума существенно; например, при РГ - анализе изменяется логарифмическая размерность [6] - [8].
Кроме того, интересно включить в рассмотрение движение окружающей среды. Привлекательно изучать турбулентное движение, поскольку турбулентность сама по себе является важным стохастическим процессом. Для моделирования движения среды можно воспользоваться синтетическим ансамблем, например, ансамблем Казанцева - Крейчнана (КК) [9]. При изучении такой модификации был обнаружен [10] новый эффект - возникновение контрчлена нового типа, пропорционального квадрату поля скорости ("индуцированная нелинейность").
Важно рассматривать более сложные и реалистичные модели. Внешнее поле скорости в данной работе описывается стохастическим уравнением Навье-Стокса (НС) с двумя различными вкладами в коррелятор случайной внешней силы: локальным вкладом (белый случайный шум, на физическом уровне отвечающий макроскопическому "встряхиванию" системы как единого целого [11]) и нелокальным степенным вкладом (турбулентная жидкость). При этом рассматриваются две отдельные задачи: локальный случай с одним вкладом в коррелятор случайной силы, и общий случай с обоими вкладами...
В работе рассмотрена модель Кардара-Паризи-Занга (53) с "замороженным" случайным шумом (54) под влиянием случайного (в том числе и турбулентного) воздействия окружающей среды, описываемого стохастическим уравнением Навье-Стокса (55) со случайной силой (56). При этом изучалось два отдельных случая: локальный (D0 = 0 в (57)) и общий (D0 ,D0 = 0). Сформулирована аналогичная исходной модели теория поля с логарифмической размерностью d =4, показана ее перенормируемость при добавлении нового вклада (подтверждено явление "индуцированной нелинейности"), и включении дополнительного безразмерного параметра в ковариантную производную. В ведущем порядке теории возмущений найдены критические размерности, описывающие асимптотическое поведение корреляционных функций. Однопетлевые вычисления показывают, что уравнения ренорм- группы для соответствующих систем обнаруживают (в том числе) кривые неподвижных точек, содержащие ИК - притягивающие сегменты.
Несмотря на то, что некоторые координаты притягивающих точек на этих кривых являются мнимыми, и, на первый взгляд, не могут быть достигнуты РГ-потоком (т.е. решением дифференциального уравнения РГ с вещественными начальными условиями), реальными параметрами разложения являются не сами константы связи, а их комбинации. Для ситуации с одним зарядом (например, в "чистой" модели Кардара-Паризи-Занга) отрицательная (интерпретируемая как нефизическая) фиксированная точка не может быть достигнута из положительных (физических) начальных условий, потому что поток РГ не может пересечь ноль (который является фиксированной точкой сам по себе). Для многозарядной модели, напротив, РГ - поток может войти в нефизическую область параметров, стартуя из физической. Интерпретация такой ситуации довольно тонкая и остается предметом споров; некоторые обсуждения и ссылки можно найти, например, в [14], [15].
Основные результаты представлены формулами (92), (93) в локальном и (95), (96), (97) в общем случае.
