В данной работе рассматриваются исключительно компактные 3-многообразия с непустым краем. Пусть А обозначает стандартный тетраэдр. Идеальной триангуляцией компактного 3-многообразия M с непустым краем называется реализация внутренности M в виде склейки конечного числа копий А с удалёнными вершинами по аффинным гомеоморфизмам их граней. Идеальная триангуляция многообразия M называется минимальной, если она содержит наименьшее число тетраэдров среди всех идеальных триангуляций данного многообразия. Число тетраэдров в минимальной идеальной триангуляции многообразия M называется триангуляционной сложностью и обозначается через c&(M).
Триангуляционную сложность, как и многие другие инварианты аналогичного типа, довольно трудно вычислять. В первую очередь точные значения триангуляционной сложности известны для многообразий, табулированных при помощи компьютера. Полная таблица ориентируемых гиперболических многообразий с каспами до сложности 9 включительно, описанная, содержит 162 182 минимальных идеальных триангуляций для 61 911 многообразий. Все эти многообразия вместе с триангуляциями включены в компьютерные программы SnapPy и Regina. В перечисляются все гиперболические многообразия с каспами, получающиеся склейкой правильных гиперболических идеальных тетраэдров, до сложности 25 включительно. М. Фуджи показал, что имеется лишь 8 различных ориентируемых гиперболических 3-многообразий с вполне геодезическим краем сложности 2. В последствии Р. Фриджерио, Б. Мартелли и К. Петронио классифицировали в [6] все компактные ориентируемые гиперболические 3-многообразия конечного объема с непустым вполне геодезическим краем до сложности 4 включительно.
На данный момент известны лишь несколько бесконечных серий компактных связных 3-многообразий с краем, для которых удалось установить точное значение триангуляционной сложности. Первая бесконечная серия была описана Р. Фриджерио, Б. Мартелли и К. Петронио . Многообразия этой серии обладают идеальными триангуляциями с единственным ребром. Вопрос минимальности идеальных триангуляций, обладающих ровно двумя рёбрами был исследован А. Ю. Весниным, В. Г. Тураевым и Е. А. Фоминых в работе. В работе [А. В. Малютин, Е. А. Фоминых и Е. В. Шумакова установили точное значение триангуляционной сложности для бесконечного семейства 3-многообразий с краем, задаваемых 4-регулярными графами с тремя эйлеровыми циклами. Минимальные идеальные триангуляции таких многообразий содержат в точности три ребра.
В работе Р. Фриджерио, Б. Мартелли и К. Петронио описали двухпараметрическое семейство {Mg,k}g^k>0 компактных ориентируемых 3-многообразий с краем. По определению компактное ориентируемое трехмерное многообразие M лежит в множестве Mg,k, если оно обладает идеальной триангуляцией с g + к тетраэдрами, и его край dM состоит из замкнутой ориентируемой поверхности рода g и к торов. Было доказано, что такие многообразия являются гиперболическими, и триангуляционная сложность многообразий из Mg,k равняется g + к. Отметим, что минимальные идеальные триангуляции многообразий из семейства {Mg,k}gyk>0, не ограничены по числу рёбер.
Гомологически минимальные триангуляции. Триангуляционная сложность компактного 3-многообразия M с краем оценивается снизу первым числом Бетти в1 (M, Z/2Z) гомологий многообразия M с коэффициентами в группе Z/2Z. Идеальную триангуляцию T компактного 3-многообразия M с краем будем называть гомологически минимальной, если она содержит в точности fii(M, Z/2Z) тетраэдров; гомологически минимальные триангуляции и их свойства изучались. Обозначим через Mh класс компактных связных 3-многообразий с краем, обладающих гомологически минимальными триангуляциями. Ясно, что всякая гомологически минимальная триангуляция минимальна, и триангуляционная сложность многообразия M G Mh равна в1 (M, Z/2Z). Также мы доказали, что все многообразия из класса Mh, за исключением шести многообразий триангуляционной сложности меньшей четырёх, являются гиперболическими многообразиями с вполне геодезическим краем и каспами. Более того, каждое многообразие из Mh обладает единственной минимальной триангуляцией, а именно, гомологически минимальной.
Пусть ориентируемое многообразие М принадлежит множеству Mg,k для некоторых g ^ k > 0. Покажем, G(M) = (Uk=1Ti, k), где T — торы. По определению множества Mg,k, короткие компоненты края дМ являются торами, и их ровно k штук. Остаётся выразить второе число Бетти в2(М, Z/2Z) многообразия М. Из [10, Теорема 1.2] известно, что сд(М) = g + k. Поскольку М G Me, то в1(М, Z/2Z) = сд(М) = g + k. Эйлерова характеристика многообразия М выражается через эйлерову характеристику края дМ и равняется 1 — д. В силу связности 20
многообразия М имеем:
в2(М, Z/2Z) = x(M) + в1(М, Z/2Z) - во(М, Z/2Z)
= (1- g) + (g + k) -1
= k.
Пусть теперь ориентируемое многообразие М лежит в классе Me, и G(M) = (Uk=1 Ti,k) для некоторого k > 0. Покажем, что тогда М принадлежит множеству Mg,k для некоторого g ^ k. В [11] нами было доказано, что край любого многообразия из класса Me содержит единственную длинную компоненту связности, более того, её род оценивается снизу суммой родов коротких компонент края. Следовательно, дМ = Sg U Uk=1Ti для некоторого g > k, где Sg — ориентируемая поверхность рода g. Остаётся показать, что М обладает гомологически минимальной триангуляцией, содержащей в точности g + k тетраэдров. Имеем:
сд(М) = в1(М, Z/2Z) = во(М, Z/2Z) + в2(М, Z/2Z) - у(М)
= 1 + k - (1 - g)
= g + k.
