1 Введение 3
2 Формулировка основных результатов 3
3 Явная формула для Cai, a2,...,ak из формулы крюков 4
4 Явная формула для путей для некоторых других ограничений 4
5 Основная задача 4
5.1 Постановка задачи, определение Pb, c(z) 4
5.2 Введение ф(Ь, с) и вывод формулы Pb, c(z) через ф 5
5.3 Вычисление формулы для ф(к, к). Окончательная формула для F(а,Ь,с) 6
6 Вывод явной формулы для F(а, Ь, а) 7
6.1 Полином Ah(z) и производящая функция Ф^(^) 7
6.2 Полином Ph(t) 8
6.3 Замена переменной д = t(1 +1)-2 9
6.4 Разложение Ta,h 9
6.5 Вычисление р(а, h) 10
6.6 Вычисление Ta,h 10
6.7 Явная формула для F(а,Ь,а) 11
7 Вывод производящей функции для F(а,Ь,с) 12
7.1 Вычисление (S) 12
7.2 Формула для производящей функции для F(а, Ь,с) 14
8 Асимптотика F(а,Ь,с) 15
9 Список литературы
Рассмотрим пути на решётке Zd, в которых каждый шаг соответствует увеличению одной из координат на 1 (так называемый d-мерный граф Паскаля). Количество путей между двумя вершинами (ai,..., ad) и (bi,..., bd) равно, как известно, мультиномиальному коэффициенту { r(bi-ai') Ч bi-ai,...,bd—adJ .
Пусть теперь в решётке рассматриваются только точки с возрастающими неотрицательными координатами {0 < ai < a2 < ... < ad}. Этот индуцированный подграф графа Паскаля называется (ограниченным) графом Юнга, его вершины соответствуют диаграммам Юнга не более чем с d строками. Теперь пути между двумя вершинами можно отождествить с косыми таблицами Юнга. В случае, когда начало пути совпадает с началом координат, речь об обычных таблицах Юнга, количество которых считается по формуле крюков.
Недавно А. М. Вершик поставил вопрос об индуцированных подграфах графа Паскаля, заданных другими неравенствами.
Настоящая работа посвящена первому нетривиальному случаю: d = 3, неравенства состоят в том что первая координата всегда не меньше двух других.
В этом параграфе мы будем рассматривать значения (a, b, c) = (an, ^n.yn), где
a > max(e,Y) > 0 и изучать поведение значения F(a,b,c) при n ^ ж. Посмотрим на формулу (22): <х>
,y,z) • (1 — x — y — z) = 1 — z • F F F(a,b,a)xaybza — y •
a=00
Разделим обе части на (1 — x — y — z) и воспользуемся тем, что: £ _ = ££(1 + x + y + z)i:
y i=0
, y, z) = (1 — z • F F F(a, b, a)xaybza — y •
a=0 0
Теперь, F(a,b,c) - коэффициент при xaybzc у правой части, а именно: (формула (26))
(a + ( + £ — X F (m,m,s)( a + b + c — 2m — 1 — A — F(m.s,m)( a + b + c — 2m — 1 — A n n P / ' n — Til h — (TH -1-1 I T — Q / n — TH n — Ч f* — (TH —I— 1 I /
a * v * c / a I iv . и i / /1 j-/. c s / a ii v. о ^.c 11 v j_ i /
* * / e Л 7'/7 / * 7'//
Хотим найти предел этого выражения при n ^ ж. Разделим всё выражение на (a+b+C) и посчитаем предел отношения ( a+btc_2m_1_s ) : (a+b+c) при зафиксированных m и s:
a_m,b_(m+1),c_^ a,b,c J
/ a+b+c-2m_1_s : /a+b+c
a-m,b_(m+1),c_^ : a,b,c )
a в Y rp/'x flprTL UOTTTO О/‘‘TTAf TTT ATTTTZO TAQDIIQ'
a+e+Y ’ a+e+7 ’ а+в+у , то есть наша асимптотика равна.
•+в + ' . f .( a в y ) (27)
a-W !b'""d' a + в + Y’a + в + Y’a + в + Y’ ( )
То есть осталось понять равномерную сходимость ряда (26). Сначала, выпишем следующую цепочку равенств: (формула (28))
fa + b + c (a + b + c)! /a + b + c (a + b + c)a+b+c /a + b + c . (x + y + z)a+b+c
a,b,c ) a!b!c! V abc aabbcc abc mmx,y,z>° xaybzc
Эквивалентность это просто формула Стирлинга. Осталось понять последнее равенство. Будем доказывать для фиксированной суммы x + y + z = a + b + c (сумму можно зафиксировать, поскольку выражение под минимумом однородно)...
