1 Введение 2
2 Теория категорий 5
3 Обогащение 8
4 Гомотопическая теория категорий 11
5 Обогащенная модельная структура на категории алгебр 14
Список литературы 14
Классически, алгебраическая теория - это следующий набор данных:
• множество носителей (или сортов) S
• множество операций O, имеющих dom вида Si х ... х Sn (формальное произведение; может быть пустым — 1) и cod вида Si.
• множество эквациональных аксиом A, т. е. тождеств связывающих операции.
Например, группа - это теория с тремя операциями:
• носитель G
• операции •: G х G ^ G, -1: G ^ G, e: 1 ^ G
• аксиомы a(bc) = (ab)c, aa-1 = e, a-1a = e, ae = a, ea = a
Ясно, что также многие широко известные алгебраические понятия (например, моноиды, кольца, модули) являются алгебраическими теориями. Чуть менее очевидный пример алгебраической теории: симплициальные множества (равно как и предпучки на любой малой категории). При этом, например, области целостности и поля не являются алгебраическими теориями, так как определяющие их аксиомы невозможно записать в виде соотношений на операции. Последнее связано с тем фактом, что категории полей и областей целостности плохие: например, в них нет почти никаких пределов и копределов (в том числе даже произведений и копроизведений). Тем временем любая категория алгебр алгебраической теории биполна, точна (в частности, регулярна), локально представима и имеет проективное генерирующее семейство (см. [Bor94]).
Естественная среда интерпретации алгебраических теорий - категории с конечными произведениями: носители рассматриваются как объекты, операции как морфизмы, аксиомы как коммутативности соответствующих диаграмм. Легко видеть, что на самом деле каждая алгебраическая теория T определяет функтор T: CatProd ^ Cat, где CatProd - 2-категория категорий1, имеющих конечные произведения, и функторов, сохраняющих произведения. Примеры:
1. Группы в категории множеств - обычные группы, Group[Set] = Group.
2. Группы в категории топ. пространств - топологические группы, Group[Top] = TopGroup.
3. Группы в категории гладких многобразиий - группы Ли, Group[Diff] = LieGroup.
4. Группы в категории групп - абелевы группы, Group[Group] = Ab (аргумент Экмана-Хилтона).
5. Функтор Group[n1]: Group[Top] ^ Ab так как п1 сохраняет произведения.
Конечно, приятность возникающих категорий непосредственно ограничена приятностью подлежащих категорий: свойства, выше упомянутые для категорий алгебраических объектов в Set, не имеют места в общем. Математика, о которой можно говорить в произвольной категории с конечными произведениями, - это в точности алгебра в смысле, определенном выше2. Здесь следует также отметить, что хотя в произвольной категории с произведениями и удается определить любое алгебраическое понятие, мало интересно можно сказать про них. В виду дикости произвольных категорий с конечными произведениями, это представляется скорее бесплодной землей, не содержащей ни одного содержательного вопроса. Как минимум от категории математических структур, по-видимому, естественно требовать локально-представимости — это с одной стороны наделяет её множеством категорных совершенств (которые, например, оказываются витальными для теории гомотопий), а, с другой стороны, покрывает, по-видимому, подавляющее большинство реальных категорий, в которых протекает математика (с точностью до замены "поломанных" категорией, таких как Top или (особенно) SmoothManifold на гораздо более полезные категории дельта-порожденных пространств DeltaSp и гладких множеств SmoothSet — здесь обе являются локально-представимыми и декартово-замкнутами, а вторая, более того, является топосом Гротендика). Локально представимые категории будут основным контекстом в этой работе. Условие локальной-представимости само по себе недостаточно для того, чтобы интерепртация декартовых алгебраических теорий (как они определены выше) в категории приводила к продуктивному понятию (что, например, видно в категории R-Mod, где плодотворна моноидальная структура тензорного произведения, а не декартового), но об этом мы скажем подробнее несколько позже.
Классическое определение алгебраической теории неестественно выделяет некоторое множество исходных операций. Так, эквивалентные по совершенно синтаксическим причинам алгебраические теории будут рассматриваться им как разные. Поэтому естественно сформировать по данной алгебраической теории категорию, объекты которой суть формальные произведения C1 х .. х Cn, а морфизмы - все формальные операции между ними, и рассматривать её как инвариантное понятие алгебраической теории. Это наблюдение ведет к современному пониманию термина алгебраическая теория:
Определение 1.1. Финитарной алгебраической теорией или теорией Ловера (Lawvere) с множеством сортов S называется малая категория T, снабженная существенно биективным сохраняющим произведения функтором (finSet/S)op ^ T. Для алгебраической теории T и категории с конечными произведениями C , категорией T -объектов в C называется категория сохраняющих произведения функторов T ^ C и естественных преобразований между ними.
...
Итак, пусть V моноидальная модельная категория, M модельная V-обогащенная категория. Сейчас мы покажем, что когда C достаточно хорошая модельная категория, категория алгебр финитарной V-монады на C, при некоторых предположениях, имеет правую трансферную модельную структуру. Это стандартный результат.
Теорема 5.1. Пусть М обогащенная кофибрантно порожденная модельная категория, A категория алгебр финитарной V-монады на A, имеющая обогащенный функтор фибрантной замены и имеющая объект путей в подлежащей модельной категории (в смысле 4.2). Тогда A с правой трансферной модельной структурой является V-обогащенной кофибрантно порожденной модельной категорией.
Доказательство. Для подлежащих категорий, в виду того, что забывающий функтор финитарной монады сохраняет фильтрованные копределы условие факторизации выполняется и из предположения следует, что также выполняется условие ацикличности. Так М0 имеет правую трансферную модельную структуру. Пусть теперь f: u ^ v кофибрация в V и g: X ^ Y фибрация в A. Мы хотим показать, что индуцированный морфизм Xv ^ Xu xYu Yv фибрация, которая является слабой эквивалентностью, если хотя бы один из f, g является. По определению правой трансферной структуры морфизм является слабой эквивалентностью или фибрацию тогда и только тогда, когда его образ под действием забывающего функтора таков. Так как забывающий функтор U: A ^ М (будучи правым сопряженным) является обогащено непрерывным, то он сохраняет экспоненцирование ([Kel05], 3.73), следовательно под его действием наш морфизм переходит в U(X)v ^ U(X)u Хи(Y)u Yv. Этот морфизм индуцируется морфизмом U (X) ^ U (Y) и таким образом из того, что М является обогащенной модельной категорией следует утверждение теоремы. □
