1 О причинах возникновения задачи.3
2 Постановка задачи 4
3 Результаты, полученные предшественниками. 5
4 Описание полученных результатов 5
5 Кандидат на роль функции Веллмана. 6
6 Подпирающие примеры и их построение. 12
7 Экстремали функции Веллмана. 19
8 Случай выпуклой функции. 24
9 Случай вогнутой функции. 24
10 Случай “+-”. 25
11 Случай “-+”. 27
12 Случай “- + -”. 28
13 Случай “+ - +”. 32
14 Случай конечного количества точек перегиба. 36
Рассмотрим следующую задачу: дана функция f и константа с. Требуется найти X1,..., xn с весам и a1,..., an такими, чт о aixi =
a ^a.f(xi) была при этом минимальной. Такая задача достаточно хорошо изучена: по неравенству Йенсена и идеям Штурма если функция выпукла, то Xi надо брать равными, если есть какая-то подпирающая снизу прямая, которая касается графика f слева и справа от с, то веса надо выбирать среди этих двух точек. Если функция вогнута, то надо брать точки как можно более отдалённые.
Но эта задача может быть сильно осложнена, если в случае, когда функция не выпукла, дополнительно ввести условия Haxi5 которые запрещали бы брать слишком малые или слишком удалённые друг от друга xi5 а количество переменных стремится к бесконечности.
Задачи об оценках интегральных функционалов общего видаш ^ J f (w) на пространстве функций ограниченной средней осцилляции ВМО хорошо изучены, точные оценки получены с помощью метода функции Веллмана.
В работе метод функции Веллмана был впервые применен для получения оценок степенных средних на классах Макенхаупта. Задача оценки интегрального функционала общего вида на классах Макенхаупта Ap p > 1, была решена в недавней работе.
В данной работе изучаются экстремальные интегральные задачи общего вида на классе Макенхаупта A1. Частичное продвижение в этом направлении было проделано в работе .
Доказательство. Построение примеров и обоснование достойности предъявленной функции можно найти в теоремах 6 и 8. Добавим к этому толвко то, что предыдущая лемма говорит о том, что при достаточно малых 5 области горизонтальных экстремалей будет заканчиваться близко к точке перегиба с соблюдением условия 5'3 < Р1 < '2. Это даёт, что лунки и уголки не будут пересекаться. □
Замечание 17. Если в условии предыдущей теоремы f (t) > 0 при t > '1, то фолиации начинаются с горизонтальных, но чередование фолиаций остаётся с аналогичными условиями.
Замечание 18. Если ослабить условие на 5, сказав, что мы гарантируем только то, что любые две точки перегиба отличаются хотя бы в 5 раз, тогда всё ещё не возникает ситауаций неполной лунки как на рисунке 8, но возникают неполные лунки как на рисунке 11. В этом случае имеющихся в работе результатов достаточно для формулировки аналогичной теоремы, но формулировка ответа является проблематичной из-за того, что каждый переход от уголка к лунке может происходить одним из двух способов: прямо как на рисунке 11 или через вертикальные экстремали как на рисунке 12.
