Исследование радиального числа Лагерр-Гауссовых мод электромагнитного поля: физический смысл, применение в квантовой информатике
|
1 Введение 3
2 Оператор радиального числа
лагерр-гауссовых мод 7
2.1 Существование оператора радиального числа 7
2.2 Эрмитовость оператора радиального числа 9
2.3 Оператор радиального числа и законы сохранения .... 12
2.4 Каноническая пара для оператора радиального числа . . 14
2.5 Физический смысл оператора радиального числа 16
3 Исследование лагерр-гауссовых мод
при помощи базиса полиномов Цернике 17
3.1 Разложение произвольной лагерр-гауссовой моды
по базису полиномов Цернике 17
3.2 Анализ коэффициентов разложения 22
4 Распространение лагерр-гауссовых мод
в турбулентной среде 26
5 Заключение 33
Приложение 1. Решение волнового уравнения в параксиальном приближении 41
Приложение 2. Математическое описание метода SSBPM 44
2 Оператор радиального числа
лагерр-гауссовых мод 7
2.1 Существование оператора радиального числа 7
2.2 Эрмитовость оператора радиального числа 9
2.3 Оператор радиального числа и законы сохранения .... 12
2.4 Каноническая пара для оператора радиального числа . . 14
2.5 Физический смысл оператора радиального числа 16
3 Исследование лагерр-гауссовых мод
при помощи базиса полиномов Цернике 17
3.1 Разложение произвольной лагерр-гауссовой моды
по базису полиномов Цернике 17
3.2 Анализ коэффициентов разложения 22
4 Распространение лагерр-гауссовых мод
в турбулентной среде 26
5 Заключение 33
Приложение 1. Решение волнового уравнения в параксиальном приближении 41
Приложение 2. Математическое описание метода SSBPM 44
Исследование пространственно структурированных пучков представляет интерес для широкого круга задач, включая микроскопию сверхвысокого разрешения, создание оптических ловушек а также задачи кодирования и передачи информации как в классическом , так и в квантовом случаях. Ключевым препятствием к широкому использованию оптических информационных каналов связи в свободном пространстве остается искажение в турбулентной атмосфере передаваемых пространственных мод. С одной стороны, это связано с неизбежным дифракционным уширением пучка и следующей за этим деформацией поперечной пространственной структуры пучка, а с другой обусловлено влиянием случайных изменений показателя диэлектрической проницаемости среды в разных точках пространства на пути распространения лазерного пучка, и, как следствие, случайным процессом искажения волнового фронта. При этом, в силу случайности процесса, восстановление исходного волнового фронта методами адаптивной оптики и компьютерной коррекции представляется достаточно трудоемкой задачей, что не может не сказаться на быстродействии таких систем связи.
Однако в работах показано, что наличие закрученной структуры волнового фронта пучка (оптического вихря) положительно влияет на устойчивость такого пучка к турбулентности среды, в которой он распространяется. Благодаря этому свойству, в последние годы крайне сильно возрос прикладной интерес к использованию именно закрученного света для передачи информации в открытых оптических каналах связи. Тем не менее, на текущий момент по-прежнему остается нерешенным ряд проблем, влияющий на производительность таких информационных каналов связи. Одна из них заключается в особенности процедуры коррекции волнового фронта закрученного света. В работе говорится, что коррекция только части волнового фронта, не содержащей оптический вихрь, приводит к заметному снижению эффективности коррекции фазы, искаженной турбулентными процессами. То есть появляется необходимость разработки специальных адаптивных элементов для закрученного света.
Еще одна проблема также связана с принципиальными различиями между плоским и закрученным волновыми фронтами. Описание явлений влияния турбулентной среды на волновой фронт пучка развивалось, начиная со второй половины XX века. Однако полученные модели плохо применимы для рассмотрения закрученного света. В первую очередь это связано с тем, что описанные в работах модели турбулентности были разработаны для пучков с плоским волновым фронтом, в то время как для работы с пространственно структурированными светом требуется иной математический подход описания оптического канала, позволяющий учитывать влияние турбулентной среды на более сложные пространственные и фазовые профили пучков.
В качестве пространственно структурированных пучков могут использоваться гауссовы моды высших порядков: бессель-гауссовы, эрмит-гауссовы и лагерр-гауссовы пучки. Последние представляют особый интерес, так как с одной стороны являются инвариантными относительно распространения в свободной нетурбулентной атмосфере и преобразованиях в линзах, а с другой - являются одним из возможных представлений закрученного света — пучков с орбитальным угловым моментом (ОУМ), удобных для кодирования информации в открытых оптических каналах связи.
При математическом описании таких каналов связи требуется учитывать ошибки, связанные со случайными возмущениями среды, в которой оптический пучок распространяется. Так, например, широко известны работы, посвященные исследованию поведения пучков с ОУМ в турбулентной среде, а также влиянию турбулентности на их основные характеристики. Кроме того, как показано в работе , пучки с ОУМ оказываются более устойчивыми к флуктуациям направления распространения излучения (флуктуациям центра масс пучка).
Исходя из вышесказанного, становится ясна необходимость исследования способов улучшения устойчивости оптических пучков к турбулентности. И в этом смысле у лагерр-гауссовых мод есть еще одно важное преимущество — на структуру пучка влияет не только значение азимутального числа (ОУМ) пучка, но и второй параметр — радиальное число, определяющее в том числе пространственную структуру поперечного профиля пучка. Насколько нам известно, на данный момент в литературе присутствует несколько упоминаний о положительном влиянии наличия такой пространственной структуры на устойчивость пучка, однако пока не существует четкого обоснования этого явления. Более того, в подавляющем большинстве прикладных и теоретических исследований радиальное число кладется равным 0, что несколько затрудняет исследование влияния наличия дополнительной пространственной структуры пучка на его устойчивость. Управление устойчивостью распространения лагерр-гауссова пучка путем изменения радиального числа кажется наиболее эффективным способом улучшения существующих систем связи в открытом пространстве, поскольку практически не требует использования дополнительного оборудования. В данной работе мы планируем показать одно из возможных обоснований существования зависимости между наличием пространственной структуры пучка с ненулевым радиальным числом и устойчивостью таких пучков, путем исследования волнового фронта лагерр-гауссовых мод с разными значениями ОУМ и радиального числа.
...
Однако в работах показано, что наличие закрученной структуры волнового фронта пучка (оптического вихря) положительно влияет на устойчивость такого пучка к турбулентности среды, в которой он распространяется. Благодаря этому свойству, в последние годы крайне сильно возрос прикладной интерес к использованию именно закрученного света для передачи информации в открытых оптических каналах связи. Тем не менее, на текущий момент по-прежнему остается нерешенным ряд проблем, влияющий на производительность таких информационных каналов связи. Одна из них заключается в особенности процедуры коррекции волнового фронта закрученного света. В работе говорится, что коррекция только части волнового фронта, не содержащей оптический вихрь, приводит к заметному снижению эффективности коррекции фазы, искаженной турбулентными процессами. То есть появляется необходимость разработки специальных адаптивных элементов для закрученного света.
Еще одна проблема также связана с принципиальными различиями между плоским и закрученным волновыми фронтами. Описание явлений влияния турбулентной среды на волновой фронт пучка развивалось, начиная со второй половины XX века. Однако полученные модели плохо применимы для рассмотрения закрученного света. В первую очередь это связано с тем, что описанные в работах модели турбулентности были разработаны для пучков с плоским волновым фронтом, в то время как для работы с пространственно структурированными светом требуется иной математический подход описания оптического канала, позволяющий учитывать влияние турбулентной среды на более сложные пространственные и фазовые профили пучков.
В качестве пространственно структурированных пучков могут использоваться гауссовы моды высших порядков: бессель-гауссовы, эрмит-гауссовы и лагерр-гауссовы пучки. Последние представляют особый интерес, так как с одной стороны являются инвариантными относительно распространения в свободной нетурбулентной атмосфере и преобразованиях в линзах, а с другой - являются одним из возможных представлений закрученного света — пучков с орбитальным угловым моментом (ОУМ), удобных для кодирования информации в открытых оптических каналах связи.
При математическом описании таких каналов связи требуется учитывать ошибки, связанные со случайными возмущениями среды, в которой оптический пучок распространяется. Так, например, широко известны работы, посвященные исследованию поведения пучков с ОУМ в турбулентной среде, а также влиянию турбулентности на их основные характеристики. Кроме того, как показано в работе , пучки с ОУМ оказываются более устойчивыми к флуктуациям направления распространения излучения (флуктуациям центра масс пучка).
Исходя из вышесказанного, становится ясна необходимость исследования способов улучшения устойчивости оптических пучков к турбулентности. И в этом смысле у лагерр-гауссовых мод есть еще одно важное преимущество — на структуру пучка влияет не только значение азимутального числа (ОУМ) пучка, но и второй параметр — радиальное число, определяющее в том числе пространственную структуру поперечного профиля пучка. Насколько нам известно, на данный момент в литературе присутствует несколько упоминаний о положительном влиянии наличия такой пространственной структуры на устойчивость пучка, однако пока не существует четкого обоснования этого явления. Более того, в подавляющем большинстве прикладных и теоретических исследований радиальное число кладется равным 0, что несколько затрудняет исследование влияния наличия дополнительной пространственной структуры пучка на его устойчивость. Управление устойчивостью распространения лагерр-гауссова пучка путем изменения радиального числа кажется наиболее эффективным способом улучшения существующих систем связи в открытом пространстве, поскольку практически не требует использования дополнительного оборудования. В данной работе мы планируем показать одно из возможных обоснований существования зависимости между наличием пространственной структуры пучка с ненулевым радиальным числом и устойчивостью таких пучков, путем исследования волнового фронта лагерр-гауссовых мод с разными значениями ОУМ и радиального числа.
...
В рамках данной дипломной работы решалось две задачи: с одной стороны изучались квантово-механические особенности радиального числа лагерр- гауссовых мод, а с другой — исследовалось влияние радиального числа на устойчивость лагерр-гауссовых мод при их распространении в турбулентной среде в рамках классической оптики. Полученные выводы о влиянии радиального числа на устойчивость были подтверждены в рамках компьютерного моделирования распространения лагерр-гауссовых пучков через среды с разной степенью турбулентности.
В первой части работы было показано, что оператор радиального числа лагерр-гауссовых мод действительно соответствует квантово-механической наблюдаемой величине, поскольку оператор, собственными функциями которого являются лагерр-гауссовы моды, а собственными числами — радиальные числа, является эрмитовым в гильбертовом пространстве лагерр-гауссовых мод. В общем случае, измерять значение радиального числа фотонов можно набирая статистику их пространственного распределения при помощи CCD камеры, однако мы показали, что возможен и несколько иной способ.
Анализируя выражение для данного оператора в области перетяжки z = 0, мы показали, что его можно свести при помощи аппарата вторичного квантования и перехода к новому базису вращающихся бозонных операторов к виду разности операторов числа вращающихся квазичастиц в поперечной плоскости и оператора проекции ОУМ на ось z. При этом, рассматривая выражение данного оператора в новом виде в зависимости от значения проекции ОУМ (I > 0,1 < 0 или I = 0), можно увидеть, что он характеризует полное число квазичастиц в поперечной плоскости, вращающихся против направления вращения пучка как целого, возникающего из-за наличия ненулевого ОУМ. В таком случае, детектирование данной квантово-механической наблюдаемой возможно при помощи измерения числа вращающихся в поперечной плоскости квазичастиц и их значения ОУМ.
Кроме этого, было показано, что оператор радиального числа лагерр- гауссовых мод коммутирует с гамильтонианом свободного поля только в области перетяжки, а следовательно, в общем случае не является интегралом движения, то есть в фиксированной точке пространства среднее значение радиального числа фотонов меняется с течением времени. Также было начато построение канонически сопряженного к радиальному числу р оператора, при выводе которого мы ограничились только вкладом от членов, характеризующих изменение искомого оператора относительно операторов координат г и z. Однако, даже такое приближение позволило показать, что в канонически сопряженном операторе присутствуют вклады от фазы Гуи и радиуса кривизны пучка, обусловленные наличием пространственного ограничения пучка в области перетяжки.
Развитие исследования в этой области пока нельзя считать в достаточной мере завершенным, поскольку несохранение во времени среднего значения оператора радиального числа не позволяет пока однозначно оценить поведение радиального квантового числа лагерр-гауссовых мод вдали от области перетяжки и требует дополнительных исследований. Еще одним открытым вопросом пока остается изучение двух оставшихся слагаемых оператора радиального числа, появляющихся при удалении от области перетяжки. Однако сделанные на текущий момент выводы позволяют однозначно утверждать, что существует принципиальная возможность использования радиального квантового числа р в задачах квантового распределения ключа или квантовых оптических каналах связи в качестве дискретной переменной в пространстве алгебры векторов состояний большой размерности.
В заключительной части работы анализировалась устойчивость волнового фронта лагерр-гауссовых лазерных пучков к случайным возмущениям турбулентной среды при помощи разложения по базису полиномов Цернике. Получено точное аналитическое решение для значений этих коэффициентов в области перетяжки. Далее было продемонстрировано поведение этих коэффициентов в зависимости от радиального р и азимутального I чисел рассматриваемой лагерр-гауссовой моды. В частности, было подробно исследовано поведение коэффициентов разложения при полиномах Цернике с одинаковыми индексами п и т. Как было показано в работе, пучки, описываемые такими полиномами Цернике, наименее устойчивы при прохождении турбулентной среды. Как оказалось, для каждого коэффициента при полиномах с одинаковыми индексами и разными значений азимутального числа I существует несколько значений радиального числа, при которых этот коэффициент практически обращается в 0, а следовательно, вклад подобных аберраций в итоговый волновой фронт пучка может быть сильно минимизирован.
...
В первой части работы было показано, что оператор радиального числа лагерр-гауссовых мод действительно соответствует квантово-механической наблюдаемой величине, поскольку оператор, собственными функциями которого являются лагерр-гауссовы моды, а собственными числами — радиальные числа, является эрмитовым в гильбертовом пространстве лагерр-гауссовых мод. В общем случае, измерять значение радиального числа фотонов можно набирая статистику их пространственного распределения при помощи CCD камеры, однако мы показали, что возможен и несколько иной способ.
Анализируя выражение для данного оператора в области перетяжки z = 0, мы показали, что его можно свести при помощи аппарата вторичного квантования и перехода к новому базису вращающихся бозонных операторов к виду разности операторов числа вращающихся квазичастиц в поперечной плоскости и оператора проекции ОУМ на ось z. При этом, рассматривая выражение данного оператора в новом виде в зависимости от значения проекции ОУМ (I > 0,1 < 0 или I = 0), можно увидеть, что он характеризует полное число квазичастиц в поперечной плоскости, вращающихся против направления вращения пучка как целого, возникающего из-за наличия ненулевого ОУМ. В таком случае, детектирование данной квантово-механической наблюдаемой возможно при помощи измерения числа вращающихся в поперечной плоскости квазичастиц и их значения ОУМ.
Кроме этого, было показано, что оператор радиального числа лагерр- гауссовых мод коммутирует с гамильтонианом свободного поля только в области перетяжки, а следовательно, в общем случае не является интегралом движения, то есть в фиксированной точке пространства среднее значение радиального числа фотонов меняется с течением времени. Также было начато построение канонически сопряженного к радиальному числу р оператора, при выводе которого мы ограничились только вкладом от членов, характеризующих изменение искомого оператора относительно операторов координат г и z. Однако, даже такое приближение позволило показать, что в канонически сопряженном операторе присутствуют вклады от фазы Гуи и радиуса кривизны пучка, обусловленные наличием пространственного ограничения пучка в области перетяжки.
Развитие исследования в этой области пока нельзя считать в достаточной мере завершенным, поскольку несохранение во времени среднего значения оператора радиального числа не позволяет пока однозначно оценить поведение радиального квантового числа лагерр-гауссовых мод вдали от области перетяжки и требует дополнительных исследований. Еще одним открытым вопросом пока остается изучение двух оставшихся слагаемых оператора радиального числа, появляющихся при удалении от области перетяжки. Однако сделанные на текущий момент выводы позволяют однозначно утверждать, что существует принципиальная возможность использования радиального квантового числа р в задачах квантового распределения ключа или квантовых оптических каналах связи в качестве дискретной переменной в пространстве алгебры векторов состояний большой размерности.
В заключительной части работы анализировалась устойчивость волнового фронта лагерр-гауссовых лазерных пучков к случайным возмущениям турбулентной среды при помощи разложения по базису полиномов Цернике. Получено точное аналитическое решение для значений этих коэффициентов в области перетяжки. Далее было продемонстрировано поведение этих коэффициентов в зависимости от радиального р и азимутального I чисел рассматриваемой лагерр-гауссовой моды. В частности, было подробно исследовано поведение коэффициентов разложения при полиномах Цернике с одинаковыми индексами п и т. Как было показано в работе, пучки, описываемые такими полиномами Цернике, наименее устойчивы при прохождении турбулентной среды. Как оказалось, для каждого коэффициента при полиномах с одинаковыми индексами и разными значений азимутального числа I существует несколько значений радиального числа, при которых этот коэффициент практически обращается в 0, а следовательно, вклад подобных аберраций в итоговый волновой фронт пучка может быть сильно минимизирован.
...
