РАЗВИТИЕ МЕТОДОВ РАСЧЕТОВ МНОГОПЕТЛЕВЫХ ДИАГРАММ В ДИНАМИЧЕСКИХ ТЕОРИЯХ

Введение 2
1 Метод вычислений 6
1.1 Модель в формализме временных функций Грина при конечной температуре 6
1.2 ИК-эффективное действие 9
1.3 Ренормировка модели 10
1.4 Метод вычислений в координатно-временном представлении 11
1.5 Результаты 16
2 Развитие метода вычислений в координатно-временном представлении 20
2.1 Преобразование звезда-треугольник 20
2.2 Оптимизация вычислений 24
Заключение 27
A 28
A.1 Свертка линий в общем виде 28
A. 2 Диаграммы 29
B Код 39
B. 1 operations.py 39
B.2 define_graph.py 41
B.3 calculate_graph.py 41
B.4 present_graph.py 44
B.5 launch_program.py 45
Список литературы 47
Купить

Известно, что в термодинамических системах могут происходить фазовые переходы первого и второго рода. Они различаются поведением параметра порядка: в случае фа­зового перехода первого рода он меняется скачком, второго рода - непрерывно. Точки фазового перехода, в которых параметр порядка изменяется непрерывно, называют кри­тическими. Исследуя поведение системы при переходе через критическую точку, обнару­живается, что различные величины и характеристики ведут себя нетривиальным образом. Такие явления называют критическими и они являются предметом исследования теории критического поведения. Современное теоретическое описание критических явлений ба­зируется на использовании метода ренормализационной группы . Метод РГ можно сформулировать различными эквивалентными подходами, из которых самым технически эффективным является квантовополевой.
Квантовополевая техника активно использует квантовополевую теорию возмущений (ТВ), представляя исходно интересующий объект в виде ряда по формально малому па­раметру в формализме диаграмм Фейнмана. Этот ряд содержит члены с ультрафиолето­выми (УФ) расходимостями. Для решения этой проблемы используется процедура пере­стройки ряда - ренормировка, позволяющая перестраивать ряды таким образом, чтобы они становились сходящимися. В теории ренормировки доказывается, что для некоторого класса моделей от УФ-расходимостей можно полностью избавиться путем переопределе­ния параметров и мультипликативной ренормировкой полей. Эта процедура неоднозначна, но все получающиеся УФ-конечные системы функций Грина физически эквиваленты и связаны между собой преобразованием конечной ренормировки. Неоднозначность связана с выбором регуляризации и схемы вычитаний.
Для начала выбирается одна из применимых регуляризаций. Ограничение на выбор регуляризации накладывает тот факт, что в задачах теории критического поведения нас интересует инфракрасная (ИК) асимптотика конечных выражений. В этом случае размер­ная регуляризация является одной из самых удачных. Ее суть заключается в выборе размерности пространства, равной малому отклонению от логарифмической размерности пространства, то есть d = d* — е, где d, d* - рабочая и логарифмическая размерности пространства соответственно, е - малая величина. В этой регуляризации диаграммы пред­ставляются рядом Лорана по параметру е. Остающийся произвол фиксируется выбором схемы вычитаний. Наиболее технически удобной является схема минимальных вычита­ний (Minimal Substractions - MS). В ней обеспечение УФ-конечности функций Грина достигается учетом лишь УФ-расходящихся членов диаграмм в константах ренормировки (Z), таким образом, в Z присутствуют только отрицательные степени ряда Лорана по па­раметру е. Преимуществом этой схемы является независимость Z от массы (т), поэтому, для удобства вычислений, можно рассматривать "безмассовую" схему ренормировки. До­полнительно к этому, РГ-функции определяются только вычетами в простых полюсах по е соответствующих Z. Используя РГ-функции, можно найти интересующие физические величины.
Резюмируя все вышесказанное, выбор размерной регуляризации и схемы MS позво­ляет получать интересующие физические результаты наиболее технически удобным спо­собом, однако, даже при таком выборе регуляризации и схемы вычитаний, количество и сложность вычислений остаются на достаточно высоком уровне. Проиллюстрируем это на примере продвижения расчетов в различных моделях, приводя соответствующие года, в которые были опубликованы новые результаты. Перед этим вкратце скажем какие модели существуют.
Теория критического поведения делится на 2 раздела: критическая статика и критиче­ская динамика. Статикой называют задачи равновесной статфизики и термодинамики, то есть класс задач без времени. В них исследуются как термодинамические характеристики системы, так и характеристики, связанные с одновременными корреляционными функци­ями. Поведение этих характеристик при приближении к критической точке описывается так называемыми критическими индексами (показателями). Например, индекс а харак­теризует поведение теплоемкости C, индекс у - поведение восприимчивости у. Модели в статике строятся, опираясь на постулат, допускающий возможность подмены точной микромодели флуктуационной полевой. Эту подмену можно считать эквивалентной только в том, что касается критического поведения. Примеры статических моделей: мо­дели со взаимодействием ф3,ф4,ф6 (дальше просто модель ф''').
В динамике возникает время и речь идет о случайных величинах и их статистических характеристиках. Стохастичность обычно моделируют феноменологически путем введе­ния в динамические уравнения некоторого "шума" - случайных сил или других случайных параметров с простым (обычно гауссовым) распределением. Критическая динамика осно­вана на стохастических уравнениях Ланжевена. Удобным оказывается перейти к кванто­вополевой формулировке, получив некоторую динамическую модель. Наличие произвола в уравнениях Ланжевена позволяет получить разные динамические модели из одной ста­тической. Яркий тому пример - из модели ф4 получаются динамические модели A — J . Вдобавок к этому, оказывается, что в динамической модели не нужно вычислять те критические индексы, которые есть в статической модели, так как они совпадают. Здесь имеется ввиду та статическая модель, по которой построена динамическая. Таким обра­зом, задачей критической динамики является изучение критических сингулярностей вре­мен релаксации и различных кинетических коэффициентов.
Напоследок, существуют другие динамические модели, активно использующие метод РГ. Они отличаются от моделей критической динамики тем, что они не основаны на урав­нениях Ланжевена. У этих моделей нет соответствия некоторым статическим моделям. В качестве примера, такие модели строятся при исследовании различных явлений, связан­ных с турбулентностью. Упоминание наличия других динамических моделей статфизики, активно использующих РГ, было приведено для полноты обзора. В дальнейшем мы бу­дем говорить только о теории критического поведения и соответствующих ей моделях. Перейдем к обзору продвижения расчетов в различных моделях, демонстрируя высокую сложность вычислений.
Начнем с более простого случая - статики. Рассмотрим Оп-ф4-модель. Вклады порядка е и е2 во всех критических индексах и порядка е3 в у (индекс Фишера) были получены в первой работе Вильсона(1972), вклады порядка е3 и е4 в у получены в работе (1973), вклады е4 в остальные индексы - (1979), вклад е5 в у - в (1981). Позднее в работе
(1983) были вычислены вклады е5 в в-функцию и аномальную размерность массы, а в(1983) вклады е5 в остальные индексы. При независимой проверке (1991, 1993) оказалось, что в были допущены ошибки в расчетах, так что окончательно правильные результаты были опубликованы лишь спустя 8 лет. Дальнейшее продвижение наступило спустя 25 лет, когда в работах (2016, 2017) были вычислены соответствующие вклады порядка е6. Наконец, (2018) были посчитаны РГ-функции, используя семи­петлевые расчеты, был получен вклад порядка е8 в аномальную размерность поля. Пока что результаты не были получены другими независимыми группами, так что последними подтвержденными являются результаты порядка е6 .
...
Купить