Введение 2
Обзор литературы 4
Система с тройным математическим маятником 8
Вывод уравнений движения 9
Переход к уравнениям в главных координатах 10
Применение принципа макимума Понтрягина 13
Применение обобщённого принципа Гаусса 15
Применение обобщённого принципа Гаусса с расширенной краевой задачей 16
Численный расчет 17
Система с тройным стержневым маятником 20
Использование метода теории управления 24
Использование неголономной механики 25
Заключение 30
Список литературы 31
Гашение колебаний механических систем одна из ключевых задач в различных технических приложениях, включающих в себя робототехническую, производственную и авиакосмическую промышленность. Например, в робототехнике управление роботизированными руками имеет решающее значение для точного и эффективного манипулирования объектами. Точно так же и в аэрокосмической технике гашение колебаний необходимо для обеспечения устойчивости и безопасности летательных аппаратов во время полета. Проблема актуальна и на производстве, где управление станками имеет решающее значение для достижения высокой точности и аккуратности.
В данной работе основное внимание уделяется проблеме гашения колебаний тележки с тройным маятником как обобщенной задаче Чебышева. Мы рассмотрим 2 системы: с тройным математическим маятником и тройным стержневым. Данные системы объединяет то, что у них 4 степени свободы. Так как мы будем учитывать движение тележки вдоль одной оси и повороты прикреплённых к ней маятников в одной плоскости, то колебания возникают вследствие движения системы из начального состояния покоя и требования покоя в конечный момент времени. При этом будет задаваться расстояние, на которое должна переместиться тележка, и время перехода. Обобщённая задача Чебышёва возникает при рассмотрении задач, в которых, кроме дифференциальных уравнений движения, необходимо учесть дополнительные дифференциальные уравнения высокого порядка [2]. Оригинальная задача Чебышёва возникла из теории синтеза механизмов. В них ставилась задача движения звеньев механизмов по заданной траектории, или описания движения желаемой конечной точки звена.
Вначале мы решим поставленную проблему как задачу управления с использованием принципа максимума Понтрягина. В дальнейшем сможем обнаружить неголономную связь высокого порядка, выполняющуюся во всё время движения для полученной управляющей силы. Затем, с помощью метода неголономной механики, опирающегося на применение обобщённого принципа Гаусса, получим второе решение. Данные решения будут сравнены графически для обеих систем. Из-за недостатков обоих методов при кратковременном движении мы расширим краевую задачу для второго метода.
Нужно отметить, что все способы управления, использованные в данной работе, не имеют обратной связи. Из этого вытекают соответствующие плюсы и минусы данных управлений. Построение управления без обратной связью может быть более простым для определённых систем, так как нам не нужно снимать данные с сенсоров и после их обрабатывать. Это делает производство систем с таким управлением дешёвым, в сравнении с имеющими обратную связь. При этом преимуществе нужно выделить и недостаток. Система становится менее надёжной и гибкой по отношению к внешним изменениям и не имеет возможности саморегулироваться.
Данная работа продолжает исследование применений методов неголо- номной механики в задачах управления, описанных. Расширение задачи до тележки с тройными маятниками показывает схожий результат. Увеличение числа звеньев может помочь учесть динамику троса, с помощью которого переносится некоторый груз. Как было видно из графиков, при массе троса сравнимой с массой переносимого тела дискретизация уточняет его поведение. При увеличении длительности движения логичнее рассматривать данную систему как тележку с одиночным маятником. Так как в данном случае амплитуды колебаний будут уменьшаться.
Обобщая полученные результаты, можно сказать следующее. Первое решение, полученное классическим методом теории управления, дало нам управляющую силу в виде тригонометрических функций с собственными частотами системы. Как указывалось в работе, такое решение имеет скачки управляющей силы и стремится ввести систему в резонанс при длительном времени движения. Решение вторым методом позволило избавиться от этих недостатков при длительном движении, так как решение было найдено в виде полинома. Расширение краевой задачи позволило сгладить полученные решения и избавиться от скачков управляющей силы при кратковременном движении. Данные утверждения истины для обоих случаев, как тройного математического маятника, так и тройного стержневого. Это объясняется отсутствием качественных изменений при переходе от математических маятников к стержневым.
