1 Введение 2
2 Постановка задачи 3
3 Обзор литературы 4
4 Интерполяционный полином Лагранжа на равномерной и неравномерной сетках 5
4.1 Интерполяционный полином Лагранжа на равномерной сетке.
Эффект Рунге 5
4.2 Интерполяционный полином Лагранжа на неравномерной сетке. 9
4.3 Сравнение точности интерполяционных полиномов для различных типов сеток 14
5 Использование полиномов Лагранжа для решения дифференциальных уравнений. 17
5.1 Метод численного решения дифференциальных уравнений с по
мощью полиномов Лагранжа 17
5.2 Описание вспомогательных функций 20
5.3 Решение дифференциального уравнения 22
6 Заключение 24
Список литературы 25
7 Листинги программ 27
В основе метода решения задач оптимального управления лежат следующие три основных компонента: методы решения дифференциальных уравнений и интегрирования функций; метод решения системы нелинейных алгебраических уравнений; и метод решения задачи нелинейной оптимизации. Существует два подхода к численному решению задач оптимального управления: прямой и непрямой.
Методы решения дифференциальных уравнений и интегрирования функций необходимы для всех численных методов оптимального управления. В непрямом методе численное решение дифференциальных уравнений сочетается с численным решением систем нелинейных уравнений, а в прямом методе численное решение дифференциальных уравнений сочетается с нелинейной оптимизацией.
Ортогональная коллокация - это прямой метод численного решения дифференциальных уравнений. Он использует коллокацию в нулях некоторых ортогональных полиномов для преобразования дифференциального уравнения в набор обыкновенных дифференциальных уравнений. Затем эти ОДУ могут быть решены любым методом. Было показано, что обычно выгодно выбирать точки коллокации как нули соответствующего полинома Якоби. Метод особенно подходит для решения нелинейных задач и имеет преимущества высокой вычислительной точности и устойчивости по сравнению с традиционными разностными методами.
В результате проведенной работы получены следующие результаты:
1. Построены полиномы Лагранжа для тестовых функций с использованием равномерных сеток и с различным числом точек. Продемонстрирован феномен Рунге при увеличении числа узлов N. Предложено противодействовать эффекту Рунге, используя неравномерную сетку.
2. Построены полиномы Лагранжа с использованием неравномерных сеток Гаусса-Лежандра, Гаусса-Лежандра-Лобато иГаусса-Лежандра-Радао. Из полученных результатов следует, что применение неравномерных сеток позволяет избежать появления эффекта Рунге. Проведено сравнение точности интерполяции на различных сетках и показано, что точность интерполяции для рассмотренных трех вариантов неравномерных сеток практически одинаковая.
3. Рассмотрен метод построения приближенного решения дифференциальных уравнений с использованием полиномов Лагранжа с неравномерной сеткой. Этот метод состоит в том, что решение дифференциального уравнения сводится к решению системы нелинейных алгебраических уравнений. Для иллюстрации данного подхода, приведен пример решения дифференциального уравнения и выполнено сравнение с решением, полученным стандартным методом ode23 пакета MATLAB.
4. Разработаны программы в среде MATLAB для построяния интерполяционных полиномов Лагранжа на равномерной и неравномерной сетках, а также для решения дифференциальных уравнений с использованием полиномов Лагранжа.
