Тема: Усреднение многомерных параболических уравнений с периодическими коэффициентами на краю лакуны: операторные оценки при учете корректора

Усреднение в пределе малого периода.
Работа относится к теории усреднения (гомогенизации). В теории усреднения, в частности, рассматривается поведение в пределе малого периода решений дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Такие задачи представляют значительный интерес как в теоретическом плане, так и для приложений, поэтому им посвящена обширная литература (см., например.
Рассмотрим типичную задачу теории усреднения. Пусть Г — решетка в Rd, Q — ячейка решетки Г. Для любой Г-периодической функции '(x) в Rdвведем обозначение '"(x) := '("“ 1x), "> 0 — малый параметр. В L2(Rd) рассмотрим эллиптический оператор A",формально заданный выражением A"= — div g"(x)V, где g(x) — симметричная матрица-функция размера d х d с вещественными элементами; предполагается, что g(x) положительно определена, ограничена и Г-периодична. Строгое определение оператора A"дается через квадратичную форму. Оператор (1.1) моделирует простейшие случаи микронеоднородных сред с "Г-периодической структурой. Пусть U"(x) — обобщенное решение эллиптического уравнения - divg"(x)VU"(x)+ х2щ(х) = f (x), (1.2) где f 2 L2(Rd)и { > 0. При " —! 0 решение u£сходится в некотором смысле к решению л, “усредненного” уравнения: — div g0Vu0(x) + x2u0(x) = f (x).
Здесь g0 — постоянная положительная матрица, называемая эффективной. Оператор A0= — divg0V называется эффективным оператором для A". Эффективная матрица g0определяется по хорошо известной процедуре (см., например, [1, глава 2, §3], [4, глава 3, §1]), согласно которой требуется решить вспомогательную краевую задачу на ячейке Q. Помимо нахождения эффективных коэффициентов, в теории усреднения применительно к уравнению (1.2) интерес представляют также вопросы о характере сходимости U"к u0, оценка погрешности u£— u0, построение дальнейших членов асимптотического разложения решения u£по степеням " и т.д. Поскольку u£= (A"+ {2I)-1f, то в операторных терминах вопрос состоит в нахождении аппроксимаций резольвенты (A"+ {2I)-1 при малом ". Далее обсудим задачу Коши для параболического уравнения
dtV"(x,t)= divg"(x)VV"(x, t), x 2 Rd, t > 0; V"(x, 0) = ^(x), x 2 Rd,
где ф 2 L2(Rd). Здесь также при "—! 0 решение v£сходится в некотором смысле к решению v0“усредненной” задачи:
@tv0(x,t) = divg0Vv0(x,t), x 2 Rd, t > 0;
v0(x,0) = ф(ж), x 2 Rd.
Поскольку V"(-,t) = e АлФ, то в операторных терминах вопрос состоит в нахождении аппроксимаций экспоненты e-A"tпри t > 0 и малом".
Купить

• Теоремы 2.5, 2.7 и 2.8 показывают, что с краями внутренних лакун периодического оператора можно связывать задачи об усреднении параболических уравнений с периодическими коэффициентами.
• На левом краю спектра основные результаты согласуются с результатами работ. При d=1 результаты работы согласуются с результатами статьи.
• Далее планируются работы на другую тему: получить приближение для резольвенты периодического эллиптического дифференциального оператора вблизи края внутренней лакуны в энергетической норме, то есть по операторной норме из L2(Rd) в H1(Rd). В одномерном случае задача уже решена и результаты опубликованы в работе.
Купить