Усреднение многомерных параболических уравнений с периодическими коэффициентами на краю лакуны: операторные оценки при учете корректора

1. Введение 2
1.1. Усреднение в пределе малого периода 2
1.2. Операторные оценки погрешности 3
1.3. Усреднение на краю внутренней спектральной лакуны 4
1.4. Постановка задачи 5
1.5. Обозначения 6
2. Спектральное разложение периодического оператора в L2(Rd). Формулировка основных результатов 6
2.1. Определение оператора. Факторизация 6
2.2. Спектральные характеристики оператора А 7
2.3. Оператор А£. Основные результаты 12
3. Доказательство основных результатов 14
3.1. Предварительные замечания 14
3.2. Вспомогательные утверждения 15
3.3. Доказательство основных результатов 21
4. Усреднение решений задачи Коши 25
4.1. Приближение решения в старшем порядке 25
4.2. Приближение решения с корректором 27
5. Заключение 30
6. Список использованной литературы 30
Купить

Усреднение в пределе малого периода.
Работа относится к теории усреднения (гомогенизации). В теории усреднения, в частности, рассматривается поведение в пределе малого периода решений дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Такие задачи представляют значительный интерес как в теоретическом плане, так и для приложений, поэтому им посвящена обширная литература (см., например.
Рассмотрим типичную задачу теории усреднения. Пусть Г — решетка в Rd, Q — ячейка решетки Г. Для любой Г-периодической функции '(x) в Rdвведем обозначение '"(x) := '("“ 1x), "> 0 — малый параметр. В L2(Rd) рассмотрим эллиптический оператор A",формально заданный выражением A"= — div g"(x)V, где g(x) — симметричная матрица-функция размера d х d с вещественными элементами; предполагается, что g(x) положительно определена, ограничена и Г-периодична. Строгое определение оператора A"дается через квадратичную форму. Оператор (1.1) моделирует простейшие случаи микронеоднородных сред с "Г-периодической структурой. Пусть U"(x) — обобщенное решение эллиптического уравнения - divg"(x)VU"(x)+ х2щ(х) = f (x), (1.2) где f 2 L2(Rd)и { > 0. При " —! 0 решение u£сходится в некотором смысле к решению л, “усредненного” уравнения: — div g0Vu0(x) + x2u0(x) = f (x).
Здесь g0 — постоянная положительная матрица, называемая эффективной. Оператор A0= — divg0V называется эффективным оператором для A". Эффективная матрица g0определяется по хорошо известной процедуре (см., например, [1, глава 2, §3], [4, глава 3, §1]), согласно которой требуется решить вспомогательную краевую задачу на ячейке Q. Помимо нахождения эффективных коэффициентов, в теории усреднения применительно к уравнению (1.2) интерес представляют также вопросы о характере сходимости U"к u0, оценка погрешности u£— u0, построение дальнейших членов асимптотического разложения решения u£по степеням " и т.д. Поскольку u£= (A"+ {2I)-1f, то в операторных терминах вопрос состоит в нахождении аппроксимаций резольвенты (A"+ {2I)-1 при малом ". Далее обсудим задачу Коши для параболического уравнения
dtV"(x,t)= divg"(x)VV"(x, t), x 2 Rd, t > 0; V"(x, 0) = ^(x), x 2 Rd,
где ф 2 L2(Rd). Здесь также при "—! 0 решение v£сходится в некотором смысле к решению v0“усредненной” задачи:
@tv0(x,t) = divg0Vv0(x,t), x 2 Rd, t > 0;
v0(x,0) = ф(ж), x 2 Rd.
Поскольку V"(-,t) = e АлФ, то в операторных терминах вопрос состоит в нахождении аппроксимаций экспоненты e-A"tпри t > 0 и малом".
Купить