Энергетически эффективные аппроксимации случайных полей
|
Аннотация 2
1 Введение 3
2 Аппроксимации броуновского листа 4
2.1 Постановка задачи 4
2.2 Основной результат 6
2.3 Доказательство предложения 4 13
3 Аппроксимации процессов со стационарными приращениями 14
3.1 Основные понятия 14
3.2 Неадаптивная аппроксимация 16
3.3 Адаптивная аппроксимация 19
1 Введение 3
2 Аппроксимации броуновского листа 4
2.1 Постановка задачи 4
2.2 Основной результат 6
2.3 Доказательство предложения 4 13
3 Аппроксимации процессов со стационарными приращениями 14
3.1 Основные понятия 14
3.2 Неадаптивная аппроксимация 16
3.3 Адаптивная аппроксимация 19
Для случайного процесса B(t),t G [0,T] энергетически эффективной аппроксимацией называют функцию f (t), которая в некотором смысле близка к B (t), но при этом обладает низкой энергией. В общем виде, такую задачу можно описать следующим образом
fopt,Q,E(t) = argmrn [ (E[f](t) + Q(f (t) - B(t))) dt, (1)
f Jo
где Q - некоторая функция штрафа, отвечающая за близость f и B, а E - функционал энергии, контролирующий качество самой аппроксимирующей функции f. Интегральное выражение будем в дальнейшем называть ошибкой аппроксимации. Стоит отметить, что на ответ влияет выбор пространства, в котором ищется f. Обычно оно выбирается так, чтобы определение было корректно. Например, когда функционал энергии E [f ] является квадратом некоторой линейной комбинации производных f, можно рассмотреть f из соответствующего пространства Соболева f G W^ [0, T], где M - максимальный порядок производных в E[f]. Тем не менее, у выбора пространства тоже есть важный смысл - он характеризует то, какие аппроксимации мы бы действительно хотели получить. Этот аспект нужно учитывать при выборе постановки задачи, и мы ещё к нему вернемся при обсуждении результатов данной работы.
Самыми простыми для изучения являются функция штрафа Q(x) = x2 и функционал энергии E [f](t) = |f z(t)|2, поэтому они используются в классической постановке вопроса. В такой задаче сочетаются расстояние до B (t) в среднем квадратическом и соболевская норма(энергия), то есть
fopt(t) = argmin [ (f/(t)2 + (f (t) - B(t))2) dt.
f ■..",/ Jo
В таком случае методами вариационного исчисления можно найти явное выражение для функции fopt, которое, конечно, зависит от B. Однако, нас интересует не только сама функция, но и итоговая ошибка аппроксимации, а точнее асимптотическое поведение этой ошибки при больших T .
Помимо штрафной функции и энергетического функционала, важной характеристикой задачи является то, к какому классу принадлежит процесс B (t). В работе [4] изучены энергетически эффективные аппроксимации процессов со стационарными приращениями в широком смысле. Рассматривается классическая постановка задачи, приведённая выше. Показано, что с пренебрежимой разницей в качестве можно взять оптимальную аппроксимацию, обладающую стационарными приращениями в широком смысле, то есть сохранить структурное свойство изначального процесса. К тому же, доказано, что асимптотика средней ошибки аппроксимации при T ^ то имеет вид CT для некоторой константы C, которую можно явно найти при помощи спектральной плотности процесса. Для гауссовских процессов ипроцессов Леви результат дополнен сходимостью нормированной ошибки почти наверное ив L1 к явно найденному пределу.
В работе [7] изучаются энергетически оптимальные аппроксимации h(t) вине- ровского процесса W(t), для которых E[h] = h'2 и Q(x) = 0, x < r, Q(x) = +то, x > r. Иными словами, на аппроксимацию задаётся ограничение, что она принадлежит некоторому окну ширины r вокруг W, то есть W(t) — r < h(t) < W(t)+ r, 0 < t < T, и при этом энергия JQT hz(t)2 dt минимальна. Ключевой особенностью здесь является негладкое ограничение на аппроксимацию, что сильно усложняет задачу. Получаемая функция хорошо известна в вариационном анализе и статистике и называется натянутой струной. В работе показано, что асимптотически, при T ^ то, натянутая струна тратит r-2C2 энергии на единицу времени.
В работе [6] продолжено исследование работы [7] и изучена энергия натянутой струны, сопровождающей случайное блуждание. В обеих работах ширина окна r = rT постоянна для всего рассматриваемого отрезка, но меняется с ростом T.
В работе [11] результаты работ [6] и [7] обобщены на случай полосы переменной ширины r = rt.
В работах [4] и [13] для стационарного процесса вопрос аппроксимации с оптимальной энергией рассматривается как обобщение задачи прогнозирования, где кроме качества предсказания также играют роль свойства прогнозирующей функции. В таком случае нас уже интересует не просто аппроксимация, но адаптивная аппроксимация, которой доступны лишь данные о процессе из прошлого, но не из
будущего. В данных работах изначально ставится вопрос оптимизации асимптоти-
,lim1 [ ( f (t) — B(t)2 +
■x T Jo
где f(m - производная m-го порядка, а lm - фиксированные комплексные коэффициенты. Однако, поскольку в стационарном случае зачастую применима эргодическая теорема, авторы сразу переходят к изучению задачи в форме
2
E |f (0) — B(0)|2 + E Е Imf(m)(0) X min .
fopt,Q,E(t) = argmrn [ (E[f](t) + Q(f (t) - B(t))) dt, (1)
f Jo
где Q - некоторая функция штрафа, отвечающая за близость f и B, а E - функционал энергии, контролирующий качество самой аппроксимирующей функции f. Интегральное выражение будем в дальнейшем называть ошибкой аппроксимации. Стоит отметить, что на ответ влияет выбор пространства, в котором ищется f. Обычно оно выбирается так, чтобы определение было корректно. Например, когда функционал энергии E [f ] является квадратом некоторой линейной комбинации производных f, можно рассмотреть f из соответствующего пространства Соболева f G W^ [0, T], где M - максимальный порядок производных в E[f]. Тем не менее, у выбора пространства тоже есть важный смысл - он характеризует то, какие аппроксимации мы бы действительно хотели получить. Этот аспект нужно учитывать при выборе постановки задачи, и мы ещё к нему вернемся при обсуждении результатов данной работы.
Самыми простыми для изучения являются функция штрафа Q(x) = x2 и функционал энергии E [f](t) = |f z(t)|2, поэтому они используются в классической постановке вопроса. В такой задаче сочетаются расстояние до B (t) в среднем квадратическом и соболевская норма(энергия), то есть
fopt(t) = argmin [ (f/(t)2 + (f (t) - B(t))2) dt.
f ■..",/ Jo
В таком случае методами вариационного исчисления можно найти явное выражение для функции fopt, которое, конечно, зависит от B. Однако, нас интересует не только сама функция, но и итоговая ошибка аппроксимации, а точнее асимптотическое поведение этой ошибки при больших T .
Помимо штрафной функции и энергетического функционала, важной характеристикой задачи является то, к какому классу принадлежит процесс B (t). В работе [4] изучены энергетически эффективные аппроксимации процессов со стационарными приращениями в широком смысле. Рассматривается классическая постановка задачи, приведённая выше. Показано, что с пренебрежимой разницей в качестве можно взять оптимальную аппроксимацию, обладающую стационарными приращениями в широком смысле, то есть сохранить структурное свойство изначального процесса. К тому же, доказано, что асимптотика средней ошибки аппроксимации при T ^ то имеет вид CT для некоторой константы C, которую можно явно найти при помощи спектральной плотности процесса. Для гауссовских процессов ипроцессов Леви результат дополнен сходимостью нормированной ошибки почти наверное ив L1 к явно найденному пределу.
В работе [7] изучаются энергетически оптимальные аппроксимации h(t) вине- ровского процесса W(t), для которых E[h] = h'2 и Q(x) = 0, x < r, Q(x) = +то, x > r. Иными словами, на аппроксимацию задаётся ограничение, что она принадлежит некоторому окну ширины r вокруг W, то есть W(t) — r < h(t) < W(t)+ r, 0 < t < T, и при этом энергия JQT hz(t)2 dt минимальна. Ключевой особенностью здесь является негладкое ограничение на аппроксимацию, что сильно усложняет задачу. Получаемая функция хорошо известна в вариационном анализе и статистике и называется натянутой струной. В работе показано, что асимптотически, при T ^ то, натянутая струна тратит r-2C2 энергии на единицу времени.
В работе [6] продолжено исследование работы [7] и изучена энергия натянутой струны, сопровождающей случайное блуждание. В обеих работах ширина окна r = rT постоянна для всего рассматриваемого отрезка, но меняется с ростом T.
В работе [11] результаты работ [6] и [7] обобщены на случай полосы переменной ширины r = rt.
В работах [4] и [13] для стационарного процесса вопрос аппроксимации с оптимальной энергией рассматривается как обобщение задачи прогнозирования, где кроме качества предсказания также играют роль свойства прогнозирующей функции. В таком случае нас уже интересует не просто аппроксимация, но адаптивная аппроксимация, которой доступны лишь данные о процессе из прошлого, но не из
будущего. В данных работах изначально ставится вопрос оптимизации асимптоти-
,lim1 [ ( f (t) — B(t)2 +
■x T Jo
где f(m - производная m-го порядка, а lm - фиксированные комплексные коэффициенты. Однако, поскольку в стационарном случае зачастую применима эргодическая теорема, авторы сразу переходят к изучению задачи в форме
2
E |f (0) — B(0)|2 + E Е Imf(m)(0) X min .
Обсудим, что происходит, когда нас интересует адаптивная аппроксимация, то есть аппроксимация которой доступны лишь значения процесса B до данного момента времени. Такая задача очень схожа по смыслу с задачами прогнозирования, развивавшимися в работах Колмогорова [12] и Винера [9]. В отличие от неадаптивного случая, здесь ответ значительно зависит от спектральной меры процесса. Колмогоровым была исследована форма ошибки в довольно общем случае, а Винером получен вид оптимального предсказания для рациональных плотностей. Сам подход, как и полученные результаты, можно использовать в нашей задаче, когда мы ищем адаптивную энергетически эффективную аппроксимацию, то есть X(t) е Ht := span{B(s), s < t|L2(Q,P)}. Здесь мы обсудим, какую форму принимает поставленная задача и как использовать подход теории прогнозирования для её решения. Опустим возможность наличия тренда у процесса, положив Д = 0, поскольку это компонента конечного ранга, не представляющая большого интереса в задачах прогнозирования. Тогда
B(t) = J (eitu - 1)W(du).
Тогда спектральная изометрия f ^ fR f (u)W(du) переводит пространство H := H. x в span{eisu — 1,s е Р|Т2(Р,ц)}. В то же время, пространство Ht, порождённое значениями процесса до момента времени t, переходит в span{eisu — 1, s < t|L2(R^)}.
Рассмотрим ту же задачу поиска аппроксимации в виде (6), учитывая что £1 = 0,
X(t) = ! (eitug(u) — 1)W(du),
где g(0) = 1. Теперь, однако, нас интересует адаптивная аппроксимация, поэтому мы добавляем ограничение X (t) G Ht. За счёт спектральной изометрии это утверждение равносильно eitug(u) — 1 G span{eisu — 1, s < 11L2(R, ц)}, что упрощается до g(u) — 1 G span{eisu — 1,s < 0|L2(R,ц)}. В силу стационарности, средняя ошибка аппроксимации равна
T (E |Х(0) — B(0)|2 + lmE |Х(m)|2] .
m=i
Как и в неадаптивном случае, ошибка может быть выписана в виде (7), а именно
Второе слагаемое представляет из себя ошибку неадаптивной аппроксимации, которая от текущего выбора g не зависит. Получается, что нам нужно минимизи-
ровать первое слагаемое, которое является дополнительной платой за незнание
по g(u) — 1 G span{eisu — 1, s < 01L2(R, ц}. Задача в такой постановке очень схожа с классической задачей прогнозирования, поэтому к ней разумно применить технику из той же области. Отдельно отметим, что до этого момента не было ограничений на спектральную меру, кроме условия её существования. К тому же, функционал энергии можно было бы рассматривать в более общей форме, хоть мы и оставили его многочленом для удобства...
B(t) = J (eitu - 1)W(du).
Тогда спектральная изометрия f ^ fR f (u)W(du) переводит пространство H := H. x в span{eisu — 1,s е Р|Т2(Р,ц)}. В то же время, пространство Ht, порождённое значениями процесса до момента времени t, переходит в span{eisu — 1, s < t|L2(R^)}.
Рассмотрим ту же задачу поиска аппроксимации в виде (6), учитывая что £1 = 0,
X(t) = ! (eitug(u) — 1)W(du),
где g(0) = 1. Теперь, однако, нас интересует адаптивная аппроксимация, поэтому мы добавляем ограничение X (t) G Ht. За счёт спектральной изометрии это утверждение равносильно eitug(u) — 1 G span{eisu — 1, s < 11L2(R, ц)}, что упрощается до g(u) — 1 G span{eisu — 1,s < 0|L2(R,ц)}. В силу стационарности, средняя ошибка аппроксимации равна
T (E |Х(0) — B(0)|2 + lmE |Х(m)|2] .
m=i
Как и в неадаптивном случае, ошибка может быть выписана в виде (7), а именно
Второе слагаемое представляет из себя ошибку неадаптивной аппроксимации, которая от текущего выбора g не зависит. Получается, что нам нужно минимизи-
ровать первое слагаемое, которое является дополнительной платой за незнание
по g(u) — 1 G span{eisu — 1, s < 01L2(R, ц}. Задача в такой постановке очень схожа с классической задачей прогнозирования, поэтому к ней разумно применить технику из той же области. Отдельно отметим, что до этого момента не было ограничений на спектральную меру, кроме условия её существования. К тому же, функционал энергии можно было бы рассматривать в более общей форме, хоть мы и оставили его многочленом для удобства...
Подобные работы
- Численное моделирование
деформационных динамических процессов
в средах со сложной структурой
Диссертация , математика. Язык работы: Русский. Цена: 500 р. Год сдачи: 2005