Введение 3
1. Предварительные сведения 4
1.1. Специальные полиэдры 4
1.2. Простые подполиэдры 5
2. Классы специальных полиэдров с тремя 2-компонентами .... 7
3. Точные нижние оценки на число истинных вершин специальных
полиэдров с тремя 2-компонентами 12
3.1. Класс K2 13
3.2. Класс Кз 16
3.3. Класс К4 18
3.4. Класс К5 19
3.5. Класс К6 21
3.6. Класс К7 22
4. Построение бесконечных серий специальных полиэдров с тремя
2-компонентами 25
Заключение 28
Список литературы 29
При изучении трехмерных многообразий важную роль играют инварианты. Одним из инвариантов является сложность по Матвееву. Однако задача вычисления такой сложности многообразий довольно трудна. В работах [1] и [2] вычислена сложность многообразий, задаваемых специальными спайнами с одной и c двумя 2-компонентами соответственно.
Естественным развитием исследования сложности было бы нахождение сложности многообразий, задаваемых специальными спайнами с тремя 2-компонентами, но эта задача на данный момент не решена. Известна сложность только для двух классов многообразий, задаваемых специальными спайнами с тремя 2-компонентами: в работе [3] разобран случай бедных специальных спайнов, а в работе [4] - случай специальных спайнов, у которых каждая 2-компонента проходит по каждому ребру особого графа ровно один раз.
В работах [2], [3] и [4] широко использовался частный случай инвариантов Тураева-Виро под названием "-инвариант, описанный в работе [5]. Он вычисляется как сумма весов простых подполиэдров специальных спайнов. В выше указанных работах количество подполиэдров и, как следствие, число слагаемых при вычислении "-инванианта, не привышает трех, что и позволило эффективно использовать данный инвариант. Поэтому для изучения сложности многообразий имеет смысл подробнее изучить простые подполиэдры специальных спайнов с тремя 2-компонентами.
В этой работе мы разобьем множество специальных спайнов с тремя 2-компонентами на классы, задаваемые числом простых подполиэдров и содержащимися в них 2-компонентами. Для каждого класса мы опишем необходимые и достаточные условия принадлежности специального спайна данному классу и приведем принадлежащую ему бесконечную серию специальных спайнов.
В этой работе мы разбили множество специальных спайнов с тремя 2-компонентами на классы, задаваемые числом простых подполиэдров и содержащимися в них 2-компонентами. Для каждого класса мы описали необходимые и достаточные условия принадлежности специального спайна данному классу и привели принадлежащую ему бесконечную серию специальных спайнов. Есть надежда, что эти серии помогут для проверки и выдвижения гипотез при поиске новых способов вычисления сложности по Матвееву.
