Введение 2
Общие понятия и определения. 2
Определение точек вогнутости. 3
О непрерывности локально вогнутых функций в точках вогнутости границы области. 4
О гладкости локально вогнутых функций в точках вогнутости границы области. 9
Список литературы 34
Минимальные локально вогнутые функции и их аналоги — максимальные локально выпуклые функции являются важным объектом математического анализа. Они часто оказываются решениями оптимизационных задач и совпадают с функциями Веллмана. Подобные функции встречаются в работах Так в работе показано, что в строго выпуклой области (кривизны границы отделены от нуля) с C3,1 гладкой границей максимальная выпуклая функция с C3,1 гладким граничным значением будет C1,1 гладкая вплодь до границы, а так же приведены примеры C3,1-e гладких граничных значений на окружности, для которых максимальная выпуклая функция не является C1,1 гладкой вплодь до границы и пример бесконечно гладкого граничного значения на окружности, для которого максимальная выпуклая функция не будет дважды диффериенцируема в некоторой внутренней точке.
В работах доказывается равенство функций Веллмана и соответствующих минимальных локально вогнутых функций для областей, представляющих собой разность двух выпуклых множеств в R2 и Rd для d > 2 соответственно.
Данная работа содержит изучение качественных свойств локально вогнутых функций. Так, например, известно, что локально вогнутые функции на Q С Rd липшицевы во внутренних точках области определения, а также локально вогнутые ограниченные снизу функции на Q С X непрерывны во внутренних точках области определения, если X — локально выпуклое линейное топологическое пространство. В данной работе будет изучаться, какой уровень гладкости можно гарантировать в граничных точках области определения в зависимости от поведения границы области в данной точке. Более подробно в данной работе изучалось поведение функции в собственных точках вогнутости границы области. Собственные точки вогнутости границы области можно считать основным примером граничных точек области определения локально вогнутой функции. Все точки свободной границы, рассматриваемые в работах, будут точками вогнутости границы области.
В силу монотонности f второе условие влечёт, то что f (8) = о(82). При этом f (8) = _ ^22(д) вогнута в окрестности нуля и удовлетворяет обоим условиям.
Таким образом в данном случае мы можем гарантировать, что модуль непрерывности в точке ведёт себя чуть лучше чем просто |-гёльдерово, но при этом можем построить локально вогнутую функцию, которая в данной точке вогнутости |-гетьдерова, но не 2 + £-гёльдерева ни для какого положительного £.
