1 Введение 3
2 Предварительные сведения 4
2.1 Многообразия Зейферта 4
2.2 Простые и специальные спайны 6
2.3 "-инвариант 7
2.4 Тэта-кривые на торе 8
3 Построение спайнов многообразий Зейферта с базой RP2 и двумя особыми
слоями
4 Вычисление значений "-инварианта для многообразий Зейферта с базой RP2
и двумя особыми слоями 13
5 Список литературы 15
из наиболее простых и при этом активно используемых инвариантов в теории сложности трёхмерных многообразий является "-инвариант, введённый в [1], где он называется t-инвариантом. Его популярность обусловлена тем, что он просто считается для каждого конкретного многообразия и аддитивен относительно операций связной суммы и граничной связной суммы многообразий. Эти свойства позволили с его помощью установить значения сложности для нескольких бесконечных серий 3-многообразий ([2, 3, 4]).
Оказывается, на множестве линзовых пространств "-инвариант принимает всего четыре значения:
Теорема 1 ([1, Теорема 4]). Пусть p > q > 0, p > 3 - пара взаимно простых целых чисел.
Тогда
0, p = 0(mod5), q = ±2 (mod 5)
p = ±1 (mod 5)
p = ±2 (mod 5)
" + 2, p = 0(mod5), q = ±1(mod5)
Поэтому вопрос о количестве различных значений "-инварианта, принимаемых на многообразиях заданного класса, представляет определённый интерес.
В работе [5] М.А.Овчинников доказал, что на классе многообразий Зейферта с базой S2 и тремя особыми слоями "-инвариант принимает 11 различных значений, и привёл их полный список.
Целью настоящей работы мы поставили вопрос о значениях "-инварианта для многообразий Зейферта с базой RP2 и двумя особыми слоями (оц,Д) и («2, Д2).
Теорема 2. Пусть M = (RP2, («1, Д1), («2,^2)) - многообразие Зейферта с базой RP2 и двумя особыми слоями. Тогда значение "-инварианта t(M) считается следующим образом.
Если «1 = 0 (mod 5), то
5" + 5, «2 = 0 (mod5), ^1,^2 = ±1(mod5);
«2 = 0 (mod 5), ф1,^2 = ±2 (mod 5);
«2 = 0 (mod5), ф1 = ±1 (mod5), fi2 = ±2 (mod5);
4" + 3, a2 = ±2 (mod5), ф1 = ±1 (mod5);
a2 = ±2 (mod 5), ф1 = ±2 (mod 5).
Если «1 = ±1 (mod 5), то
где s = а2Д + о1 fi2.
Знак “±” здесь следует понимать несогласованно: в каждом месте он может быть заменён на “+” или “—” произвольно. Запись fi1 ;fi2 = ±x (mod 5) означает, что остаток от деления fi1 на 5 равен ±x и остаток от деления fi2 на 5 равен ±x; при этом эти остатки не обязаны совпадать.
Идея вычисления состоит в том, чтобы перебрать все значения параметров особых слоёв, при которых "-инвариант принимает потенциально различные значения. При этом разумно будет сократить перебор, применив имеющиеся знания о том, когда многообразия Зейферта дают одно и то же значение "-инварианта.
Теорема 3, во-первых, позволяет рассматривать вместо параметров особых слоёв их остатки по модулю 5, тем самым сокращая число случаев до конечного и делая прямой перебор возможным. Во-вторых, теорема 3 позволяет рассматривать лишь случаи «1 = 0 (mod 5), «1 = ±1 (mod 5) и «1 = ±2 (mod 5) (остальные случаи сводятся к этим заменой знаков у обоих параметров особого слоя). Наконец, существенно (примерно в 10 раз) сокращает перебор торговля параметрами. Последнее нуждается в несложной переформулировке для удобства использования.
Лемма 2. Пусть (RP2, («1,Д1), («2,Д2)) и (RP2, («1 ,Д), («2, Д2)) - многообразия Зейферта. Они могут быть получены друг из друга операциями C1, C3 и C4 тогда и только тогда, когда
«1^2 + «2^1 = ±(«1Д2 + «2^1 )•
Доказательство. Докажем, что число «1Д2 + «2Д1 при каждом из указанных преобразований либо не меняется, либо меняется на знак.
C1: очевидно.
C3: если Д = —Д1 и Д2 = —Д2, то «1Д2 + «2Д1 = — «1Д2 — «2Д1.
C4: если 0[ = fi-1 « и fi'2 = fl2 + a2, то
«1^2 + «2^1 = «1(^2 + «2) + «2(^1 — «1) = «1^2 + «2^1 + «1«2 — «2«1-
□
С помощью компьютерной программы несложно перебрать все параметры особых слоёв по модулю 5, про которые мы не можем сказать, что они дают равные значения "-инварианта. Список таких параметров содержится в первом столбце таблицы 1.
Далее, несложно подобрать парамеры особых слоёв, которые давали бы указанные остатки по модулю 5. Список таких параметров содержится во втором столбце таблицы 1.
По полученным параметрам можно, используя теорему 4, построить спайны соответствующих многообразий. Посчитанные с помощью распознавателя 3-многообразий [10] значения "-инварианта на этих многообразиях перечислены в третьем столбце таблицы 1. Все использованные спайны, представленные в виде, пригодном для распознавателя, можно найти по ссылке https://github.com/AlexeyTheFirst/Diploma/tree/main/Spines.
В четвёртом столбце таблицы 1 содержится описание всех (с точностью до перенумерации) параметров, которые могут быть получены из указанных по теореме 3 и торговлей параметрами. Это удобно для формулировки теоремы 2.
Теорема 2 следует отсюда немедленно...
