0 Введение 3
0.1 Историческое введение и применения 3
0.2 Основные результаты работы 3
0.2.1 Структура работы 3
1 Косы и их коэффициенты дробных скручиваний Дена 5
1.1 Основные определения 5
1.1.1 Группы кос и косы 5
1.1.2 Коэффициенты дробных скручиваний Дена 5
1.2 Геометрическая интерпретация кос 6
1.2.1 Группа кос vs группа классов отображений 7
2 Алгоритм вычисления коэффициентов дробных скручиваний Дена 9
2.1 Процедура сравнения 9
2.1.1 Необходимые средства 9
2.1.2 Описание процедуры 10
2.1.3 Корректность процедуры 11
2.2 Вычисление антье Деорнуа 13
2.2.1 Описание процедуры 13
2.2.2 Корректность процедуры 13
2.3 Алгоритм вычисления КДСД 14
2.3.1 Корректность и сложность алгоритма 15
2.3.2 Особенности программы 16
3 Эксперименты и гипотезы 17
3.1 Распределение дробных частей коэффициентов дробных скручиваний
Дена 18
3.1.1 Результаты 18
3.1.2 Выводы 18
3.2 Распределение переходов между дробными частями 20
3.2.1 Результаты 20
3.2.2 Выводы 20
Приложение 23
Теория групп кос является важной областью в математике, дающей ценную информацию об узлах и поверхностях. Значительным достижением в этой области является определение коэффициентов дробных скручивания Дена для кос, позволяющее глубже понять и проанализировать свойства кос. Отметим, что далее в нашей работе, КДСД будет аббревиатурой коэффициентов дробных скручиваний Дена.
В этой работе мы стремимся разработать алгоритм и программу, которые эффективно вычисляют КДСД для кос, и использовать их для дальнейшего изучения этих коэффициентов. Во введении дается исторический обзор групп кос и КДСД, обсуждается их применение, обрисуется мотивация, стоящая за этой работой, и представляется ее краткое содержание.
Ответ на наш главный вопрос получен: при выборках размерности N < 10000 с очень большой вероятностью не все переходы между дробными частями будут осуществляться. Это прямое следствие того факта, что дробные части с большим знаменателем встречаются редко. Более того, данные из таблиц показывают, что переходы между дробными частями с большими знаменателями бывают еще реже (на самом деле, почти никогда). Обычно, такие переходы осуществляются из или к значениям 0 или 1.
Симметричность таблицы в случае равномерного распределения вполне ожидаема. Высокий процент переходов (0, 0) также. Далее можно заметить, что дробная часть 1, в отличие от остальных нецелых дробных частей, более стабильна в следующем смысле: коса, имеющая КДСД с дробной части равной 1 сохраняет за некоторое определенное время это значение после добавления новых образующих со знаками при случайном блуждании. Это видно, например, из высокого процента переходов Q, -|) по сравнению с переходами от 0 к 1 или наоборот.
