В этой работе изучаются обратные пределы абелевых групп, которые используются в различных областях математики. Обратный предел определяется для обратной последовательности абелевых групп.
По сути обратная последовательность это функтор из двойственной категории натуральных чисел в категорию абелевых групп и обратный предел это предел такого функтора. Однако также обратный предел можно определить как ядро некоторого эндоморфизма группы n°=iAj. Обознается обратный предел как limAj.
Самый известный пример это группа целых p-адических чисел, которая является пределом обратной последовательности циклических групп Z/pj Z
Обратный предел можно рассматривать как функтор из категории обратных последовательностей в категорию абелевых групп. Однако этот функтор не будет точным. J. E. Roos [Roo61] ввел определение производного предела обратной последовательности - ljm1Ai. Это правый производный функтор предела, однако также его можно определить как коядро все того же эндоморфизма, ядром которого является limAj.
Связь между точностью ljm и обнулением lim1 показывает следующее утверждение:
Предложение. (Предложение 1) Пусть есть короткая точная последовательность обратных последовательностей Am B ^ C, тогда есть длинная точная последовательность:
О —> lim A —> lim B —> lim C —> lim1 A —> lim1B —> lim1C —> 0
Производные обратные пределы часто используются в алгебраической топологии и гомологической алгебре. Например, Милнор показал, что для обратной последовательности расслоений пространств
X0 ^ X1 ^ х2 ^ ...,
если обозначить через Ху_ предел этой последовательности пространств, то для любого фиксированного n имеет место короткая точная последовательность
0 —м lim1 nn+1(Xj) —м пга(Хте) —м lim nn(Xj) —м 0.
г г
Нам понадобится следующее определение:
Определение. Для каждого i G N определим фильтрацию образами A“ на последовательности A рекурсивно для всех ординалов а:
A0 := Ai
A := fi(A«+1)
A^ := Aa
Александр Гротендик в [GD61] сформулировал критерий на фильтрацию образами, который назвал условием Миттаг-Леффлера.
Если для обратной последовательности A для всех i существует N G N такое, что для всех n > N An = AN, то A удовлетворяет условию Миттаг-Леффлера...
Теорема 9. Пусть C - кополная категория. Пусть (S, D) - ортогональная пара, порожденная множеством морфизмов So. Тогда если любой морфизм f G So это морфизм между представимыми объектами, то существует локализация относительно (S, D).
Наша цель это доказать, что для категории обратных последовательностей абелевых групп есть локализация, в которой локальные объекты это все локальные последовательности.
Мы хотим применить Теорему 9. В качестве So мы возьмем множество из одного морфизма, который мы сейчас зададим.
Для каждого n G N зададим обратную последовательность последовательность B[n] следующим образом: B[n]i = Z для i < n и B[n]i = 0 для i > n. Отображения между первыми n членами тождественные, между остальными нулевые.
Теперь определим B = ®n£NB[n]. По сути его членами будут счетные прямые суммы копий Z.
Определим наш морфизм Ц : B ^ B такой, что f (0,0,..., 0,1,0,...) =
(0, 0,..., 0, -1,1, 0,...), то есть элемент, у которого 1 на месте n и все остальные нули, он отправляет в элемент у которого 1 на месте n и —1 на месте n — 1.
Тогда чтобы применить Теорему 9 нужно доказать, что B представимый и что категория AbN кополная.
Предложение 11. AbN - кополная категория.
Доказательство. Известно, что категория Ab кополная, по Theorem 1 из [Mac97].
Однако, поскольку морфизмы в категории обратных последовательностей это почленно морфизмы абелевых групп, то если мы хотим взять какой-то малый предел последовательностей, то это последовательность малых пределов взятых почленно(а почленно мы можем их взять, потому что Ab кополная). □
Предложение 12. B - представимый объект в категории Ab '.
Доказательство. По [Bou77] известно, что копредел представимых объектов будет представимым, значит достаточно доказать представимость B[n] для всех п.
Заметим, что морфизмы из B[п] в любую обратную последовательнсоть C определяются отображение из B[n]n = Z в Cn, то есть Hom(B[n],C) = Hom(Z, Cn) = Cn, однако ясно, что функтор взятия п-го члена последовательность коммутирует с пределами, поскольку пределы определяются почленно. □
Следствие 4. В категории AbN сущетсвует локализация относительно пары ({ДЧ <{^}х)х).
Доказательство. По Предложениям 11 и 12 наша категория полная, а морфизм ф действует между представимыми объектами, значит мы можем применить Теорему 9 и получить нужны результат. □
Завершающим шагом будет понять, что {ф}^ это в точности множество локальных последовательностей.
Лемма 8. Для обратной последовательсти абелевых групп A следующие условия равносильны:
1) A G {ф}Д
2) A локальная последовательность.
Доказательство. Для начала напишем что означают эти условия.
Условие A G {ф}± означает, что ф* : Hom(B, A) ^ Hom(B, A) это биекция.
Условие A локальная последовательность означает, что ее предельное отображение ф : n^^Ai ^ n^^Ai будет биективным.
Давайте построим биекцию между Hom(B, A) и n^^Ai.
B = фгаед B[i], значит Hom(B,A) = nraeNHom(B[i], A).
Однако отображение из Hom(B[i], A) определяется образом B[i]i = Z, то есть Hom(B, A) = nraeNHom(B[i]i,Ai) = nraeNHom(Z,Ai) = nraeNA.
При таком соответствии элемент (ai, а^, аз,...) G nra£NAi будет переходить в элемент из Hom(B,A), который посылается (0,.., 0,1, 0, ...)(1 на i-м месте) в ai. Тогда отображениеи ф в композиции с этим изоморфизмом слева и справа будет действовать как ф* , значит биективность ф эквивалентна биективности ф*.
Следствие 5. В категории AbN существует локализация, для которой локальные объекты это в точности все локальные последовательности.
