Рассмотрим граф на проективной плоскости, рёбра которого не имеют внутренних точек пересечения, а все грани состоят из трёх рёбер. Такой граф будем называть триангуляцией проективной плоскости RP2. Имея триангуляцию, можно задать метрику на RP2: внутренность каждой грани гомеоморфно отображается в правильный треугольник на плоскости со стороной 1, и метрика внутри грани индуцируется из этого отображения, а расстояние между точками из разных граней считается как инфимум длин кривых, их соединяющих, причём длина кривой считается как сумма длин её звеньев, где звено — подмножество образа кривой, полностью лежащее в какой-то из граней. С такой метрикой окрестность каждой точки, участвующей в 6 треугольниках, окажется плоской. Это наблюдение мотивирует ввести следующее определение:
Определение. Дефектом вершины, участвующей в к треугольниках, называется число 6 - к.
В данной работе изучаются выпуклые триангуляции, то есть те, у которых дефект при каждой вершине неотрицателен. Вершины с ненулевым дефектом будем называть дефектными. Поднятие триангуляции на сферу индуцирует на ней метрику, и по теореме Александрова [1] эта метрика реализуется на некотором выпуклом многограннике, который окажется центрально-симметричным. Определённым образом выберем маркировку триангуляции: порядок на её дефектных вершинах и набор геодезических, соединяющих дефектные вершины.
Определение. Две маркированные триангуляции изометричны, если существуют биекции на множестве их вершин,рёбер и граней, сохраняющие отношения инцидентности, а также сохраняющие маркировку.
Основная задача — оценить число f (п° классов изометрий маркированных триангуляций из не более, чем п треугольников, с данным набором дефектов вершин. Поскольку эйлерова характеристика проективной плоскости & (RP2) = 1, то сумма всех дефектов у любой триангуляции равна 6. Следовательно, возможные наборы дефектов для триангуляций с тремя дефектными вершинами — {2,2,2}, {1,2,3} и {1,1,4}. Случай с тремя равными дефектами был разобран в работе [2]. В этой же работе рассматриваются случаи дефектов {1,1,4} и {1,1,2,2}. Для случая {1,1,4} мы докажем следующий результат:
Теорема. Количество f3(п° классов изометрии маркированных триангуляций проективной плоскости RP2 с тремя дефектными вершинами с дефектами 1,1,4, состоящих из не более, чем п треугольников, удовлетворяет соотношению
f3 (п° = Сп2 + O (п3),
где
С = -Р (л() + 2Л (£Й Г1 (4)С(Eis, 2).
40Уз 3 V6
В формулировке теоремы используются следующие обозначения:
X
1. Функция Лобачевского Л(х° = - f ln|2 sin х| dx;
о
2. Решётка Эйзенштейна Eis = Z ф (Z, где ( = 2 + ^3i;
3. Дзета-функция для решёток £ (L, s') = ХуeL�(у, у)s;
4. Дзета-функция Римана £ (s) = XneN n~s.
Для количества триангуляций с дефектами {1,1,2,2} получены оценки снизу и сверху, обе кубические по количеству треугольников.
Найдётся константа С' > 0 такая, что для всех достаточно больших п е N верно
f4(п° > С'п3.
Доказательство. Всякий вектор из решётки Эйзенштейна и е Eis представляется в виде и = х + уш и квадрат его длины выражается как |и|2 = х2 + у2 + ху. Для фиксированной пятёрки (z, а, b, c, d° е Sn рассмотрим множество T таких х + уш е Eis, что |х| < |z| min(a, c° и |у | < | min(b, d°. Все элементы и множества T удовлетворяют неравенству
|и|2 < z|2 ^min(a, c)2 + 3 min(b, d°2 + min(a, c° min(b, d°j.
Мощность множества T — это количество пар (х, у) е Z2 таких, что |х | < | min (а, с° и |у | < рз |y | min (b, d), её можно оценить снизу как Р3 (| min(a, с° - 1) (| min(b, d) - 1) .Для данной пятёрки (z, a, b, с, d° е Sn множество T будем обозначать какT(z, a, b, с, d). Наконец, воспользовавшись нижней оценкой f4(п) из теоремы 3.1 и очевидным наблюдением, что Sn Q Sп+2|v|2, имеем
f4 (п° > S |T (z- a - b-c, d)|
4 x—1 , . , .
> 2j (| min (a, c)- 1)( |z | min (b, d) - 2)
V3 (z,ab^S
> pF — 1 (|z | min (a, c° > + 1, |z | min(b, d) > + 2) • п
V3 (z,aM^Sn 8 8 / 64
В последнем выражении I(P° обозначает индикатор предиката P: I(Р° = 1, если P верно, и
I (Р) = 0, иначе.
Прямой проверкой можно убедиться, что множество Sn содержит все пятёрки (z, a, b, c, d°, в которых a|z|, b|z|, c|z|, d|z| не превосходят . Таким образом,
f4(п) > г — I {(a, b, c, d° е Z^ : 3 | b, 3 | d,
16V3 >0
zgE0
a, b, c, d е
Понятно, что правая часть неравенства не меньше С'п2 для какой-то константы С'.
