1. Введение 1
1.1. Определения и предварительные сведения 1
1.2. Основные результаты 7
2. Достаточные условия максимальности
и координатной выпуклости 8
3. Составление системы дифференциальных уравнений 17
3.1. Значения функции Bp,r [f, д,ф,ф] и её производных 17
3.2. Система дифференциальных уравнений 23
4. Решение системы уравнений 35
4.1. Вывод системы SI из системы SE 37
4.2. Решение системы SE и асимптотические соотношения 42
4.3. Завершение доказательства теоремы 1.22 45
Рассмотрим следующую функцию Беллмана Bn[p, r](x): Rn ^ [—то, +<то], зависящую от параметров r > 0 и p е (1, +<то):
Функця B выпукла по
каждой переменной в отдельности, , x е R3. (1)
B(±t,..., ±t) < |t|p, B(t,... ,t) < —r|t|p, t е R I
Функции, выпуклые по каждой переменной в отдельности, будем называть координатновыпуклыми (separately convex по-английски). Данные функции изучаются в так называемом квазивыпуклом анализе. В книге можно встретить и другие примеры отображений, с которыми оперирует квазивыпуклый анализ. Все эти объекты играют важную роль в современном вариационном исчислении. В частности, некоторые из них изучаются в статье, а в работе можно найти непосредственное применение координатновыпуклых функций (они вводятся в определении 3 этой работы). Заметим, что основное отличие координатно-выпуклых от классических выпуклых функций состоит в том, что след координатно-выпуклой функции f: Rn ^ R, равный отображению x ^ f (x, x,... , x), не обязан быть выпуклым. Описание множества следов координатно-выпуклых функций является нетривиальной задачей, и этот вопрос достаточно подробно изучен в статье.
Вернёмся к функции Bn[p, г]. Заметим, что для каждого числаp > 1 существует момент rn(p), такой что при r < rn(p) функция Bn[p,r] конечна, а при r > rn(p) — бесконечна. Задача состоит в том, чтобы изучить порядок величины rp при p ^ 1.
Константа rn(p) соответствует константе в не-неравенствах Орнштейна для дифференциальных операторов (классический контрпример Орнштейна гласит, что rn(p) ^ 0); см. работы (гипотезы 4 и 5 работы). В частности, в работе была сформулирована гипотеза, которую можно переформулировать следующим образом.
Гипотеза 1.1. Справедливо асимптотическое соотношение rn(p) х p — 1 при p ^ 1.
Замечание 1.2. Заметим, что в случае n = 2 имеет место равенство rn(p) = p — 1, доказательство которого мы опустим, хотя оно не является технически трудным.
Основной результат этой работы следующий.
Теорема 1.3. Справедливо асимптотическое соотношение
з . . 1
Гр Х 2log(p — 1) при p ^ 1'
В частности, опровергнута гипотеза 1.1.
Отметим, что кроме асимптотики величины rn(p) также интересна конкретная формула функции Bn[p, r]. Отметим, что это формула была получена при r = r3(p) (см. теорему 1.22). Данный интерес связан с тем, что помимо данной задачи имеется большое количество вопросов, которые можно так или иначе разрешить, вычислив некоторую максимальную координатную-выпуклую функцию, ограниченную сверху некоторой подпоркой. В книге можно найти обширный перечень примеров задач такого рода. В частности, поэтому координатно-выпуклые функции интересны сами по себе.
Лемма 4.10. Пусть ap — корень уравнения (52), удовлетворяющий асимптотическим соотношениям q = o(1 — ap) и (1 — ap)2 = o(q) (он существует при достаточно маленьких q Е (0,1) в силу леммы 4.9). Предположим, что параметры a,b,A,B,C,5 определены следующим образом:
а ap(ap), b bp(ap), A Ap(ap), B Bp(ap), C Cp (ap), д dp(ap').
Тогда для функций f, h, ф, ф, F и H, которые выражаются через эти параметры посредством формул (48), (49), (50), выполнены все неравенства из системы Si.
Доказательство. Все эти неравенства легко следуют из указанных в лемме 4.8 асимптотических соотношений. Поэтому мы опустим соответствующие выкладки. □
Наконец, покажем, что мы доказали теорему 1.22.
Доказательство теоремы 1.22. Существование функции ap, как и было сказано в условии теоремы следует из леммы 4.10. Пусть h, F и H — функции, заданные равенствами (48) и (49). Тогда функции f, h, ф, ф, F, H удовлетворяют равенствам (48), (49) и (50). Следовательно, в силу леммы 4.7 выполняются уравнения из системы SE, и равенство (E). Поэтому мы можем воспользоваться леммами 4.3, 4.4 и заключить, что ещё выполнена система неравенств SI. Осталось обратиться к лемме 4.10, чтобы получить систему неравенств Si. Таким образом, выполняются все соотношения из систем SE0 С SE, SI, Si и равенство (E). Значит, в силу леммы 3.4 имеет место включение Bprp(ap) [f, g, ф, ф] Е C3(p, rp(ap), a, р)и равенство r3(p) = rp(ap). Таким образом, мы доказали утверждение 1. Чтобы доказать равенство (9), нам осталось воспользоваться предложением 2.6. Наконец, обратимся к соотношению (54) из леммы 4.9, чтобы доказать утверждение 3:
гр(ар) -' р = (1 - ар) 1q (~)
