1 Введение 1
2 Постановка задачи и основные результаты 2
3 Вспомогательные результаты 5
4 Слабая производная решения по времени 7
5 Невозрастание Ь^-нормы слабого решения по времени 9
6 Теорема единственности в классе слабых решений и принцип максимума 13
7 Существование 13
8 Теоремы аппроксимации 16
В данной работе мы изучаем слабые решения параболического уравнения в частных производных с дрифтом, где под дрифтом подразумевается «скорость сноса» (то есть коэффициент при первых частных производных по пространственным переменным). Особенный интерес к изучению таких уравнений возникает в гидродинамике, где в качестве дрифта выступает само поле скоростей жидкости. Исторический обзор, а также всеобъемлющее изложение классических результатов, касающихся однозначной разрешимости тех или иных задач в энергетическом классе, содержится в монографии [7]. Большинство этих результатов получено в предположении о достаточной «гладкости» дрифта, например, его существенной ограниченности (в нашей работе существенно ограниченный дрифт будет называться регулярным). При ослаблении условия регулярности дрифта теряется информация о слабой производной по времени решения, а также теряется классическое энергетическое тождество, возникает вопрос о единственности решений из энергетического класса. Поэтому в случае сингулярного (то есть нерегулярного) дрифта Теорема единственности начинает играть ключевую роль.
Благодаря разложению Гельмгольца для любого дрифта мы можем выделить его соленоидальную и потенциальную части. Изучению свойств слабых решений для уравнений с соленоидальным дрифтом посвящены работы [1], [8], [11], [12], [13], [15] (см. также [2], [5]). В случае потенциального дрифта часто дополнительно предполагают неположительность дивергенции в обобщённом смысле, в таком случае билинейная форма, соответствующая конвективному члену, обеспечивает неотрицательную добавку к квадратичной форме оператора, результаты о слабых решениях при условии дрифта с неположительной дивергенцией можно найти в [9] (см. также [3]).
В нашей работе внимание также сконцентрировано на дрифте, обладающем неположительной дивергенцией. При этом формальной целью для нас является получение существования и единственности слабого решения, что позволяет говорить о цельной теории. Своего рода побочным (но от этого не менее интересным) результатом в нашей работе оказывается существенная ограниченность слабого решения при существенно ограниченном начальном данном. Отличие нашей работы во многом состоит в подходе к задаче: ключевым местом, на наш взгляд, является невозрастание L 1-нормы слабого решения по времени.
Для доказательства нескольких анонсированных ранее утверждений введём вспомогательные операторы:
• Оператор растяжения L с коэффициентом Л > 0, заданный на функциях Rn+1 ^ R и Rn+1 ^ Rn по формуле
(Lav)(x, t) = v(Ax, At).
• Оператор усреднения по пространственной переменной, заданный на пространствах L1;loc(Rn+1, R) и L1;loc(Rn+1, Rn) по формуле
vX£(x0,t) У v(x,t')us(x0 - x) dx.
где ix£(x) = ^1 ix( jx), здесь x положительная бесконечно-гладкая отнормирован- ная (в L1(Rn)) функция с носителем в единичном шаре (в R") симметричная относительно начала координат.
• Оператор усреднения по времени и по пространственной переменной, заданный на пространствах L1;loc(Rra+1, R) и L1;loc(Rra+1, Rn) по формуле
vX£,te(x0, to) = У v(x, t)xs(x0 - x)es(t0 - t) dxdt,
Rn+1
где x£(x) задан, как в операторе усреденения по пространственной переменной, а 0£(t) = 1 в(£t), здесь в положительная бесконечно-гладкая отнормированная (в L1(R)) функция с носителем в единичном шаре (в R) симметричная относительно начала координат.
Замечание 8.1. Введённые операторы усреднения и растяжения обладают следующими общеизвестными свойствами (см., например, доказательство [4, Chapter 5.3, Theorem 3]):
• При v Е Lp(Rn+1) и p Е [1, м) функции vx£, vx£,t£, Lav стремятся к v в Lp(Rn+1) при е ^ 0 и Л ^ 1.
• При v Е Wp1,1(Rra+1) и p Е [1, м) функции vx£, vx£,t£, LAv стремятся к v в W1’1(Rn+1) при е ^ 0 и Л ^ 1.
• При v Е L^(Rn+1) выполнено
•’x L ■ ■ < II vI|lto(R"+1). -’x./ L ' ' < v L ■ ■ .
LAv L ■ ■ = Hv||l^(R"+1)-
• При v Е L1;Zoc(Rra+1) функция vx£,t£ Е C^(Rn+1).
Также приведём несколько более специфичных свойств (простых, но необходимых далее)
• При v G W 1(Q-T,T), Q звёздной с центром звёзности в 0 и Л > 1 выполнено
Lv G W2(Q-t,t).
• При v G W21,1(Rn+1), v|t=0 G Li(Rn) выполнено
Lxvt=0 v|t=0 в Li(Rn).
