Тема: Графы Горески-Коттвица-Макферсона и кольца Чжоу оросферических многообразий с числом Пикара один

Сферические многообразия и их компактификации играют важную роль как для изу­чении действующей на них группы, так и в качестве интересного модельного примера многообразий с большими группами автоморфизмов. В бакалаврской дипломной ра­боте автора был изучен случай симметрического пространства E6/F4, которое обла­дает компактификацией с группой Пикара ранга один. Это довольно редкий случай, в работе [10] дана полная классификация примеров подобного рода.
В настоящей работе мы рассматриваем другой интересный случай: компактифи­кации оросферических пространств с числом Пикара один. Такие многообразия тоже допускают полную классификацию, приведенную в работе [8]. Особый интерес пред­ставляют два многообразия размерностей 7 и 23 с действием исключительных групп типов G2 и F4 соответственно.
Мы даем рецепт вычисления таблицы умножения эквивариантных колец Чжоу таких пространств при помощи метода Горески-Коттвица-Макферсона. А именно, эквивариантное кольцо когомологий допускает описание в виде набора расстановок многочлена на графе, вершины которого соответствуют точкам, неподвижным под действием тора, а ребра — инвариантным прямым. Мы строим так называемый flow up базис, который позволяет быстро вычислять произведение двух образующих. В частном случае пространства с действием группы типа G2 мы явно задаем эквивари­антное кольцо Чжоу образующими и соотношениями.
Вычисление по большей части чисто комбинаторное по своей природе. Однако для построения flow up базиса используется тот геометрический факт, что раздутие рассматриваемого многообразия вдоль одного проективного однородного подмного­образия изоморфно проективизации некоторого расслоения над другим проективым однородным подмногообразием (доказанный, например, в [5]).
Отметим, что в работе [9] вычислено неэквивариантное кольцо Чжоу для этого же многообразия с рациональными коэффициентами. Что же касается случая F4 , авторы упомянутой работы считают данное вычисление “unfeasible” (недостижимым). Мы имеем основания считать, что наш метод справится с этой работой, однако для этого случая компьютерные вычисления пока не завершены.
Купить