Идеи ренормгруппы, берущей начало в 50-е годы прошлого века, уже в 1971 году были применены в теории фазовых переходов на спиновых решётках. Вильсон при этом основывался на преобразовании Каданова, то есть на объединении соседних спинов в один блок при одновременной замене константы связи. Объединение подразумевает, что в каждом блоке нужно сделать усреднение по спинам. Понятно, что производя такую операцию, мы уменьшаем число степеней свободы и таким образом изменяем систему, но вместе с этим подходящее преобразование константы связи позволяет нам сохранить все свойства
системы, характерные для неё на больших расстояниях. Многократное применение описанной процедуры
приводит к последовательности моделей, формально подобных исходной.
Такая конструкция обладает групповыми свойствами. А именно, два последовательных перехода в упорядоченном множестве моделей можно представить как один переход. Но переход от одной модели к другой необратим, что говорит о том, что в данном случае имеет место реализация ренормгруппы только как полугруппы.
Таким образом, математическое отличие группы ренормировок в КТП и теориях, где используется построение Каданова-Вильсона, заключается в характере симметрий. Там, где необходима операция
усреднения, речь идёт о дискретной полугруппе. В свою очередь, квантово-полевая ренормгруппа - точная
непрерывная группа симметрий [1].
Заметим, что ренормгруппу, связанную с конструкцией Каданова-Вильсона, в разных источниках называют по-разному. Например, в качестве альтернативных её наименований часто встречаются "вильсоновская РГ" и "ренормгруппа реального пространства". Под РГ-преобразованиями такой ренормгруппы
понимают переходы между различными моделями Mi из некоторого определённого упорядоченного множества M:
R(n)Mi = Mni (1)
Опишем задачи, которые призвана решать ренормгруппа реального пространства. Пусть H - квантовый решёточный гамильтониан, H - гильбертово пространство, а |ψ⟩ состояния из этого пространства.
Тогда задача диагонализации гамильтониана сводится к нахождению собственных векторов и собственных значений H:
H|ψ⟩ = E|ψ⟩ (2)
Размерность гильбертова пространства H выражается как:
dimH = d
N , (3)
где d - количество степеней свободы, приходящееся на один узел, или по-другому размерность пространства состояний узла, а N- количество узлов. Чем больше значение N, тем сложнее задача диагонализации. Как правило, нас интересует не весь спектр, а какая-то его часть. Метод РГ реального пространства позволяет найти интересующую нас область спектра путём итерационного сокращения степеней свободы.
Облекая эту идею в математическую форму, мы получаем последовательность действий, которая позволяет нам, например, определить низкоэнергетические состояния гамильтонианов на квантовых решётках.
Далее мы приведём термины, которыми оперируют методы РГ реального пространства, введём для них обозначения и установим соотношения между ними.
Итак, на каждом шаге РГ-процедура сводит заданное количество n соседних узлов (блоков) в один блок (его ещё называют эффективным узлом)...
Взаимодействие квантовой системы с окружающей её средой порождает отклонение от гамильтоновой динамики. В этом случае для описания эволюции системы в терминах матрицы плотности обычно используют уравнение FGKLS (Franke–Gorini–Kossakowski–Lindblad–Sudarshan). Помимо декогеренции, характерной для такой эволюции состояния, можно исследовать поведение запутанности, присущей исключительно квантовым системам. Запутанность - основополагающий ресурс квантовой теории информации.
Именно на свойстве запутанности состояний построен механизм квантовой телепортации и сверхплотного кодирования.
Наше исследование состоит в работе с физическими моделями, которые могут быть описаны одномерной решёткой - цепочкой. В соответствии с подходом численной ренормгруппы Вильсона, для решёточных
моделей определена процедура крупномасштабного усреднения. В своей работе мы объединяем идеи РГ реального пространства и неунитарной эволюции.
Одним из результатов нашего исследования является сформулированный метод численной ренормгруппы для открытых квантовых систем. При его создании, с одной стороны, использовалась информация о том, как в стандартном методе, определённом для гамильтоновых систем, преобразуется гамильтониан, а с другой стороны, знание, каким образом гамильтониан входит в правую часть уравнения FGKLS.
После того, как удалось придумать самосогласованную процедуру, появилась возможность исследовать уравнение FGKLS при крупномасштабном усреднении. Так, задав начальное условие - матрицу плотности начального состояния - для выбранной модели было изучено, как меняется запутанность и чистота
решения:
1. При движении по ренормгруппе,
2. В зависимости от свойств начального состояния и т. д.
В дальнейшем ожидается найти условия выхода на запутанный пойнтер. ( Пойнтер - конечное стационарное состояние открытой квантовой системы). Он представляет интерес, поскольку запутанность несёт
в себе информацию, которую хотелось бы передавать без потерь.
