Глава 1. Введение 3
Глава 2. Уравнение Гросса-Питаевского 7
Глава 3. Процедура измерения 10
Глава 4. Математическая модель управляемого БЭК 13
4.1. Получение волновых функций основного состояния 13
4.2. Вывод линеаризованного уравнения для управляемого БЭК 15
4.3 Вывод нелинейного уравнения эволюции 20
Глава 5. Результаты численного моделирования 23
5.1. Моделирование линеаризованной задачи 23
5.2. Численное моделирования нелинейного уравнения эволюции 31
Глава 6. Заключение 36
Приложение А 37
Приложение Б 39
Приложение В 41
Используемая литература 42
История Бозе-Эйнштейновского конденсата берет свое начало в 1924 году, когда в журнале Zeitschrift fur Physik вышла статья Шатьендраната Бозе [1], в которой он разработал метод вывода излучения абсолютно черного тела без какой-либо ссылки на классическую физику. И в 1925 году, на основе метода, описанного Бозе, Эйнштейн теоретически предсказал существование Конденсата Бозе — Эйнштейна [2]. Как итог, появилась концепция бозе-газа, описывающая статистическое распределение тождественных частиц с целочисленным спином, бозонов. Одним из выводов теории бозе-газа является существование фазового перехода при конечной, хотя и очень малой, температуре, при которой макроскопическая часть атомов собирается в основном состоянии. Этот переход получил название конденсации Бозе- Эйнштейна.
Однако долгое время БЭК атомов оставался сугубо теоретической материей, потому что на практике не существовало инструментов, способных продемонстрировать его в лаборатории. Первым крупным шагом на пути реализации конденсата Бозе-Эйнштейна можно считать появление лазерного охлаждения в 1975 году, когда вышла статья Хэнша и Шавлова [3], где давалось теоретическое описание того, как можно с помощью лазерного света довести ансамбль атомов до температур, порядка сотен микрокельвинов. Идея метода заключалась в следующем: тщательно подбирая лазерный свет с красной отстройкой относительно конкретно выбранного атомного перехода можно добиться поглощения из-за эффекта Доплера. Испущенный затем фотон обладает большей энергией, чем поглощенный. Избыток берется из кинетической энергии атомов, что приводит к охлаждению ансамбля.
Примерно тогда же, Демельт и Вайнленд, независимо от Хэнша и Шавлова пришли к пониманию того, что лазерное излучение позволяет понижать энергию с захваченных ионов, и процесс лазерного (доплеровского) охлаждения был впервые показан на захваченных электрическими полями ионах [4]. Ограничением охлаждения в данном случае является тот факт, что из-за кулоновского взаимодействия, нельзя одновременно охлаждать слишком большое произвольное количество частиц в некотором заранее заданном объеме...
Цель данной работы - установить принципиальную возможности стабилизации конденсата в основном состоянии потенциала сложной формы с помощью обратной связи. Для ответа на этот вопрос была построена математическая модель управляемого посредством PID-регулятора БЭК. Модель основана на модификации уравнения Гросса-Питаевского.
В качестве первого приближения в работе была исследована более простая линеаризованная задача, которая должна была установить теоретическую возможность стабилизации конденсата в основном состоянии заранее выбранного конкретного потенциале ловушки при малых возмущениях относительно основного состояния волновой функции. В данной работе показано, что при правильно подобранных параметрах PID-регулятора можно добиться требуемой стабилизации. В ходе численного моделирования выяснилось, что наибольший эффект на стабилизацию оказывает дифференциальный компонент PID-регулятора. Однако интегральный компонент также позволяет, пусть заметно хуже, стабилизировать конденсат в заданном потенциале, в то время как пропорциональный компонент не оказывает практически никакого влияния на стабилизацию.
Далее, была получена и численно исследована нелинейная дискретизированная система уравнений . Это позволило проверить возможность глобальной стабилизации Бозе -Эйнштейновского конденсата в основном состоянии заранее выбранного потенциала ловушки при любых возмущениях относительно волновой функции основного состояния. Также эту задачу можно понимать, как перевод конденсата из основного состояния одного произвольного потенциала ловушки в основное состояние любого другого потенциала. Было показано, что использование параметров PID -регулятора, найденных при анализе линеаризованной задачи в нелинейной системе, подтверждает теоретическую возможность стабилизации конденсата Бозе - Эйнштейна в основном состоянии потенциала ловушки сложной формы с высокой точностью. Таким образом, PID-регулятор представляет собой перспективный алгоритм управления атомарным конденсатом Бозе-Эйнштейна.
