Моделям ветвящегося случайного блуждания (ВСБ) частиц по конечномерным целочисленным решеткам Z с непрерывным временем посвящен ряд публикаций, см., например, [2], [3], [4], [5], [7], [8].
Можно дать следующее общее описание таких моделей ветвящихся процессов. В пространстве Z независимо друг от друга блуждают частицы. На решётке Z имеется некоторое множество узлов — источников ветвления, при попадании в которые частицы могут случайным образом либо производить новые частицы, либо погибать. Новые появившиеся частицы начинают эволюционировать независимо друг от друга аналогичным образом.
Поведение ВСБ существенно зависит от структуры среды, в которой происходит блуждание частиц. Приведём здесь краткий обзор имеющихся результатов.
В работах [2], [3], [6], [9] рассматривалась модель ВСБ на Z7, где количество источников ветвления конечно, а матрица переходных интенсивностей А = (а(х,у)) x,yeZd удовлетворяет условиям:
1. а(х, у) > 0 при х = у и а(х, х) < 0,
2. Е «(х,У) = 0,
yez
3. а(х, у) = а(у, х),
4. случайное блуждание является неприводимым, что означает, что при старте из любой вершины х мы можем с положительной вероятностью попасть в любую другую вершину у ,
5. Ежеж |х|М0,х) < го,
6. а(х,у) = а(0,у — х),
7. случайное блуждание однородно по времени.
Механизм ветвления задаётся марковским процессом ветвления и определяется инфинитезимальной производящей функцией:
/(и) := ^ Ьпип, 0 < и < 1,
п=о
где Ьп > 0 при п = 1, 61 < 0, и Еп Ьп = 0.
Величина
£ := //(1) = ^ п6п
п
называется интенсивностью ветвления.
Предполагалось, что для каждого натурального п все fi(n) := /(n) (1) < то.
Основными объектами исследования являлись локальное число частиц ц*(^) в точке у Е Zd в момент времени t и общее число частиц yt = ^2y^id ^t(y), а также их целочисленные моменты rnra(t,x,y) = Ежц"(у) и mn(t,x) = Ежц" (п Е N), где Еж обозначает математическое ожидание при условии, что в момент времени t = 0 имелась лишь одна частица в точке х, т.е. Цо(у) = ^х(у).
Для такой модели ветвящегося случайного блуждания было показано, что существует критическое значение fic такое, что при fi > fic число частиц растёт экспоненциально в каждой точке при t ^ то. Этот факт является следствием того, что при таких fi в спектре оператора, описывающего эволюцию среднего числа частиц появляется положительное собственное значение. Старшее собственное значение Л задаёт асимптотику поведения процесса на бесконечности следующим образом:
lim ц*(у)е-Л* = <ф(у), lim yte~xt = <,
t^tt t^tt
где ф(у)— некоторая функция на Zd, а £ — невырожденная случайная величина, а сходимость понимается в смысле моментов...
Обозначим через М пространство целочисленных дискретных мер на No, т.е.
k М Е М -■ -- М = ^бу., где yj Е No, k Е No. 7=1
Пусть (Xx(t),t > 0) — процесс ветвящегося случайного блуждания со значениями в М, порождённый матрицей интенсивностей В и инфинитезимальной производящей функцией /. Предположим, что в начальный момент времени процесс стартует из точки x, то есть Xx(0) = бх.
o
Для ^ Е l2(No) определим случайную величину
Jx,t(v) = ^(y),
yE{Xx(t)}
k
где для меры М V ду. через {М} обозначено множество {у1_, ...,yk}, а под- 7=1 "
0
пространство 12 (N0) пространства 12 (N0) определяется как:
Ш) = {^ е Ш)): ^(0) = 0}.
00
Зададим P* : 12(N0) ^ 12(N0) следующим образом:
[P^](x) = EJx,t(^).
Лемма 4.1. P* является полугруппой, то есть для всех s,t > 0 верно:
pt+s = ptps.
Доказательство.
[Pt+sp](x) = EJx,t+s(p) = EE{JX,t+s(^)|^x(t)} = E J ^ ЕДуДр) > =
[y£{XI(t)} J
= E J £ [Psp](y) I = EJx,t(Psp) = [PtPsp](x).^ye{XPt)} J
□
Лемма 4.2. Генератор полугруппы Pl есть оператор В + fl(1)Дг+1, т.е.
lim [P ^](Ж)—^^ = [BH(x) + ^(1) [Ar+i^](^),t^0+ t
0
где операторы В и Дг+1 действуют на функции <р из l2(N0) как
IW](x) УУ ь(х,У)Г(У), [Дг+1И(ж) = Г(г + 1Я+1(ж).
уеЧ0
Доказательство. При t ^ 0+ имеем
[Ptr](x) -
уеЧо{х} у
+ #г+1(ж) I УУ kbk I
keN0{1} у
+ (1 + b(x, x)t + o(t))(1 + 5r+1(x)b11 + o(t))p(x) - ^(ж) =
= I У2 b(x, y)
= [B^](x)t + ^ (1)p(r + 1)5r+1(x)t + o(t),
что и доказывает утверждение леммы. □
Обозначим за vt(y) локальное число частиц рассматриваемого процесса в момент времени t > 0 в точке y Е N.
Пусть n(t,x,y) := Ex^t(y) среднее число частиц в точке у в момент времени t при условии, что в начальный момент времени t = 0 в системе имелась только одна частица, находившаяся в точке х...
