1 Введение 2
2 Ренормгрупповой анализ стохастических моделей 4
2.1 Задача стохастической динамики и квантовополевая формулировка 4
2.2 Производящий функционал и функции Грина 4
2.3 Канонические размерности 6
2.4 Расходимости и перенормировка 7
2.5 Ультрафиолетовая мультипликативная перенормировка 7
2.6 Обобщенная однородность 8
2.7 Уравнение ренормгруппы 9
2.7.1 Аномальная размерность и ^-функция заряда g 10
2.7.2 Уравнение РГ с точки зрения теории дифференциальных уравнений
в частных производных 10
2.8 Неподвижные точки и скейлинг 13
3 Случайное блуждание по случайной поверхности: анализ простой моде­ли 15
3.1 Описание модели 15
3.2 Теоретико-полевая формулировка и перенормировка модели 17
3.3 Уравнения РГ, функции РГ и неподвижные точки 20
3.4 Критические размерности и скейлинг 22
3.5 Заключение 23
4 Литература 25
Купить

На протяжении последних десятилетий постоянное внимание привлекают явления слу­чайного роста флуктуирующих поверхностей (границ раздела фаз). Наиболее яркие при­меры включают осаждение вещества на поверхность и рост соответствующей границы раздела фаз; распространение пламени, дыма и фронтов затвердевания; рост вициналь­ных поверхностей и бактериальных колоний; эрозия ландшафтов и профилей морского дна; молекулярно-лучевая эпитаксия и многие другие.
Другой обширной областью исследований является диффузия и случайные блуждания в случайных средах, таких как неупорядоченные, неоднородные, пористые или турбулент­ные среды.
Важной общей особенностью таких явлений оказывается их интересное автомодель­ное (скейлинговое, самоподобное) поведение - степенные закономерности, описываемые некоторым (иногда бесконечным) набором "критических размерностей"или "критических индексов". Подобное поведение давно известно для равновесных систем многих частиц вблизи их критических точек. В частности, такое критическое поведение оказывается в значительной степени универсальным: оно зависит не столько от физической приро­ды конкретного "носителя"(жидкость-пар, бинарная смесь, магнетик, квантовый переход в сверхпроводящее или сверхтекучее состояния), сколько от глобальных характеристик системы: размерность пространства, симметрия и т.п. Это позволяет говорить о "клас­сах универсальности"таких систем. Наиболее известным и часто встречающимся явля­ется класс, который может быть представлен как класс критического поведения O(n)- симметричной d-мерной ф4-модели теории поля.
В случае неравновесных динамических систем такое "критическое поведение"гораздо более многообразно и менее изучено. Более того, опыт показывает, что критическое пове­дение реальных систем очень чувствительно к наличию внешних возмущений: наличию примесей, влиянию гравитации, движению среды.
Одной из важнейших задач теории является объяснение такого поведения на основе некоторых микроскопических моделей, нахождение возможных классов универсальности, вычисление соответствующих критических размерностей.
Во многих случаях модели случайного роста или диффузии в случайной среде могут быть переформулированы как некоторые модели квантовой теории поля. (Во избежание недоразумений подчеркнем, что речь идет не о квантовых полях, а о близких к ним с математической точки зрения классических случайных полях).
Однако для изучения критического поведения в таких теоретико-полевых моделях невозможно оставаться в рамках обычной теории возмущений, а необходимо выйти за ее пределы с помощью, например, теоретико-полевых методов теории перенормировок, ренормализационной группы (РГ), а в более "тяжелых"случаях - с помощью оператор­ного разложения, точных функциональных уравнений типа Швингера, Дайсона и Уорда, инстантонных методов и непертурбативной (функциональной) ренормгруппы. Так или иначе, мощный и хорошо развитый математический аппарат КТП можно применять к подобным задачам статистической физики.
Именно на этом и сосредоточено исследование в данной работе: используя стохастиче­ские дифференциальные уравнения как модели различных физических явлений, исследу­ется их асимптотическое (критическое) поведени с помощью метода ренормализационной группы (РГ). А именно: рассматривается случайное блуждание частицы в однородном гравитационном поле по шероховатой поверхности. При этом динамика частицы описы­вается уравнением Фоккера-Планка, а поверхность моделируется обобщенным линейным стохастическим уравнением Эдвардса-Уилкинсона для поля высот. В обобщенной мо­дели используются два произвольных показателя: е и п, связанные со спектром и законом дисперсии поля высот соответственно. Подробное описание модели и ее связи с различ­ными частными случаями дано в разделе 3.1.
С помощью общей теоремы Мартина-Сиджа-Роуза и де Доминисиса-Янссена, исходная стохастическая задача переформулируется как некоторая теоретико-полевая модель. Это позволяет применять хорошо развитый формализм фейнмановской диаграммной техники, теории перенормировок и РГ. На основе сображений симметрии и размерности, а также некоторых специфических особенностей модели, было показано, что модель мультипли­кативно перенормируема, так что уравнение РГ было получено стандартным способом. Соответствующие константы перенормировки и РГ-функции (аномальные размерности и в-функции) вычисляются явно в ведущем однопетлевом порядке РГ-теории возмущений. Эти вопросы обсуждаются в разделах 3.2 и 3.3.
Уравнения РГ имеют две гауссовские (свободные) неподвижные точки и две нетриви­альные. Эти точки являются инфракрасно-притягивающими в зависимости от значений параметров е и п, что предполагает наличие скейлинговых асимптотических режимов в ИК-диапазоне (большие времена и большие расстояния) для различных функций откли­ка и корреляционных функций модели (раздел 3.3). Критические размерности для этих режимов находятся в точности как функции е и п
В качестве показательного приложения получена временная зависимость среднеквад­ратичного радиуса облака случайно блуждающих частиц (раздел 3.4). Она описывается степенным законом с показателем степени, который зависит от неподвижной точки и точ­но известен как функция от е и п, и для нетривиальных точек отличается от обычного случайного блуждания: R2(t) — t.
Купить