Теория ветвящихся случайных блужданий является современным разделом теории вероятностей. Объектом исследования в этой теории является стохастический процесс, который возникает при совмещении случайного блуждания и ветвящегося процесса. Центральной задачей этой теории является изучение эволюции процесса во времени в зависимости от структуры среды.
В работах [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7] исследуется предельное поведение ветвящегося случайного блуждания (ВСБ) на d-мерной целочисленной решётке в пространственно неоднородной среде, а именно, рассматривается конечное число однотипных источников рождения и гибели частиц. Случайное блуждание в этих работах задаётся матрицей переходных интенсивностей А = (a(v, и))v ueZd и предполагается однородным, симметричным, с конечной дисперсией скачков, то есть для всех и, v G Zd выполнено:
a(v,и) = а(и, v) = а0(и — v),
причём функция а0(и) удовлетворяет условиям а0(и) > 0 при и = 0, ао(0) < 0, 52 а0(и) = 0 и V ||и|2а0(и) < то, где ||и|| — евклидова норма uGZd uGZd
вектора и в Rd. Также предполагается, что случайное блуждание неприводимо, то есть любая точка и G Zd достижима. Механизм ветвления в источниках задаётся как процесс Бьенеме-Гальтона-Ватсона (см. [8], стр. 11) при помощи инфинитезимальной производящей функции / (и) = 52 Ьпип, где Ьп > 0 п=0
при п = 1,61 < 0 и 52 6п = 0. Коэффициенты Ьп отвечают за интенсивность п
деления частицы на п потомков. Для всех I G N величины Р1 := /(l)(u)|u=1 предполагаются конечными. Величина Р1 для краткости обозначается через Р и называется интенсивностью ветвления. Для ветвящегося случайного блуждания с такими свойствами были найдены асимптотики моментов числа частиц. Было показано, что если спектр оператора, описывающего эволюцию среднего числа частиц, содержит положительное собственное число Л, то при t ^ +то наблюдается экспоненциальный рост всех моментов и в каждой фиксированной точке, и на всей решётке. При этом было также показано, что положительное собственное число Л появляется в спектре оператора при Р > Рс для критического значения Рс, которое равно нулю в размерностях 1 и 2 и строго больше нуля в размерностях больше 3. Случай при Р > Рс называется надкритическим, а случаи, когда Р = Рс и Р < Рс называются критическим и докритическим соответственно. Асимптотики моментов в критическом и докритическом случаях зависят от размерности решётки. Например, в критическом случае в размерностях не больше 3 моменты локальных численностей частиц убывают к 0, а в размерностях больше 3 наоборот полиномиально растут.
В работе [2] рассматривается случайное блуждание с конечным числом источников, где источники могут быть трёх типов. В источниках первого типа гибель и размножение частиц происходит без нарушения симметричности случайного блуждания. В источниках второго типа нарушается симметричность случайного блуждания за счёт введения дополнительного параметра, усиливающего степень преобладания ветвления или блуждания в источнике. В источниках третьего типа нарушается симметричность блуждания без размножения или гибели частиц. В данной работе исследованы спектры операторов, описывающих эволюцию среднего числа частиц, найдены условия существования положительного старшего собственного значения, которое приводит к экспоненциальному росту численности частиц.
В работах [9, 10, 11, 12, 13] рассматриваются ВСБ с бесконечной дисперсией скачков, то есть ||и||2а0(и) = ^, при этом предполагается, что
uGZd
,, Н (u/|u|)
а°(и) |u|d+« ’ u ' 'х,
где a G (0, 2) и Н(•) — непрерывная, положительная и симметричная функция на сфере Sd-1 := {z G Rd : |z| = 1}. Классификация асимптотического поведения моментов численностей частиц в ВСБ в этом случае разнообразнее, чем в случае конечной дисперсии скачков, в частности, появляется зависимость не только от размерности решётки, но и от а. Также, в отличие от случая с конечной дисперсией скачков, в размерности 1 и при a G (0,1) ив размерности 2 и a G (0, 2) случайное блуждание не является возвратным, то есть Зс строго больше нуля...
Пусть как и в случае с одним источником ветвления случайное блуждание за¬даётся матрицей переходных интенсивностей В = (b(x,y)')x,y&No со следующими свойствами:
1. b(x, у) > 0 при х = у и b(x, х) < 0,
2. Е ь(х,У) = 0,
^eN0
3. случайное блуждание неприводимо,
4. Ежел0 x2b(0,x) < ^,
5. b(x, у) = ^(°^ + при у = 0 и х = у,
b(x, х) = b(0, 0) + Ь(022Ж) при х = 0,
b(x, 0) = b ф'"' при х = 0,
6. случайное блуждание однородно по времени.
Опишем процесс ветвления. Пусть д1 Е N, рассмотрим множество
Г0 = {д Е N0 : д = пд^п Е N0} .
Пусть источники ветвления расположены в вершинах множества Г0 и имеют одинаковые интенсивности. Процесс размножения и гибели частиц задаётся как процесс Бьенеме-Гальтона-Ватсона при помощи инфинитезимальной произво¬дящей функции
F (s) = £ b, sk, k=0
где для коэффициентов {bk, к Е N0} выполнено:
bi < 0, bk > 0 при к = 1, У" bk = 0.
Предположим также, что число потомков имеет конечный первый момент, то есть
£ = F'(1) = ^ kb, < го. k=i
Пусть vt(y) — число частиц рассматриваемого процесса в момент времени t > 0 в точке у Е N0, Еж обозначает математическое ожидание при условии, что в начальный момент времени t = 0 имеется лишь одна частица в точке х. Как и в случае ВСБ с одним источником, можно показать, что n1(t,x,y) := Ежvt(y) как функция аргументов х и t является единственным решением задачи Коши
f drai(dT’y) = Е b(x,X)ni(t,x,,y) + £ £ Sg(x)ni(t,x,y)
< ®'€N0 fleT0 (12)
[ni(0,x,y) = Sy (х)...
