Введение 3
Обзор литературы 5
Глава 1. Ориентация осей, связанных с телом, с учетом транспортного запаздывания в управляющем моменте 7
1.1 Постановка задачи 7
1.2 Положения равновесия 14
Глава 2. Устойчивость 18
2.1 Метод Линейного приближения 18
2.2 Исследование корней характеристического квазиполинома 30
2.2.1 Критерии устойчивости 31
Выводы 36
Заключение 39
Список литературы 40
Приложение А1 42
На настоящий момент существует очень много задач управления различными процессами и объектами. Множество таких задач решается для различных тепловых, электрических, технологических и экономических процессов. Одной из крупных областей, где задачи управления давно являются актуальными, которая будет представлять для нас особый интерес – это механические системы, где рассматривается, среди прочих, управление твердым телом.
Управление подразумевает под собой некоторое влияние, воздействие на управляемый объект с целью изменения его состояния, характеристик или положения в пространстве. В реальных практических системах не существует мгновенного управления, так как всегда присутствует некоторая задержка при передаче управляющего воздействия от управляющего центра к управляемому объекту или задержка при получении управляющим центром информации от датчиков системы (например, гироскопических, датчиков скорости, давления и др.). Одним из примеров таких процессов может служить технологическая процедура проката металлического листа, где управление присутствует при регулировании толщины листа на прокатном станке. Запаздывание появляется при получении регулирующим объектом данных о настоящей толщине с целью ее коррекции – лист продолжает движение, пока датчики передают начальные данные в управляющий центр, который должен принять решение об изменении толщины и передать управляющее воздействие на исполнительные органы для ее коррекции. Еще одним примером может служить процесс перемещения каких-либо материалов, объектов, тел на ленточных транспортерах. Также, запаздывание возникает и при передаче сигналов на расстояния в электрических, гидравлических и механических системах.
Такие системы называют системами с запаздыванием или системами с последействием. Запаздывание может быть различным, как постоянным, так и описываемым некоторыми функциями. Использование систем с запаздыванием позволяет более точно и адекватно описать реальные динамические процессы.
Для механических систем, на которых мы сосредоточим наше внимание, задачи управления включают в себя задачи ориентации, стабилизации, изменения и оптимизации траекторий движения тел и другое. Нам будет интересна задача ориентации твердого тела с учетом транспортного запаздывания, которое проявляется в управляющем моменте.
По сути, данная задача заключается в нахождении такого управляющего воздействия, которое при приложении его в управляемому твердому телу сориентирует и стабилизирует его в определенном заданном направлении. Задача усложняется наличием в управлении транспортного запаздывания – временной задержки при передаче сигнала управления. На практике такие задачи вполне актуальны и могут применяться при управлении самолетами, космическими кораблями, морскими судами и прочими телами. При решении такой задачи встает вопрос не только о фактическом нахождении подходящего управляющего момента для ориентации твердого тела, но и вопрос об устойчивости полученного твердым телом положения.
В настоящей работе была построена система, описывающая вращение твердого тела вокруг неподвижной точки, замкнутая управляющим моментом с постоянным транспортным запаздыванием. Были найдены положения равновесия данной системы. Для положения равновесия, которое было асимптотически устойчиво в случае системы без запаздывания, была построена система в отклонениях. Для системы в отклонениях были найдены первые интегралы, позволившие понизить порядок системы с двенадцати до девяти. Была получена система линейного приближения для данного положения равновесия.
Был рассмотрен случай трех базисных векторов связанной системы координат, при котором линейная система распалась на три подсистемы. В каждой подсистеме был найден первый интеграл, что позволило в результате получить три системы из двух уравнений каждая.
Было проведено исследование характеристического квазиполинома второго порядка с двумя постоянными параметрами, входящими в уравнение линейно, построенного для одной из систем (результаты для двух других систем результаты получаются аналогичными). С помощью частотного критерия Найквиста [15] было получено критическое значение запаздывания и сделан вывод, что при значениях запаздывания, меньших критического, исследование по линейному приближению, возможно, приводит к выводу об асимптотической устойчивости исследуемого положения равновесия при значениях запаздывания, меньших критического, но для более строгого вывода требуются дополнительные исследования.
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
