Введение 4
Глава 1. Основные сведения из классической неголономной механики.
Уравнения движения неголономных систем 6
1.1 О классической неголономной механике 6
1.2 Виды связей 6
1.3 Неголономная связь первого порядка 7
1.4 Уравнение движения изображающей точки при наличии к неголономных
связей 9
1.5 Уравнения Маджи для неголономных систем 12
1.6 Уравнения Удвадиа-Калабы для неголономных систем 15
Глава 2. Неголономная задача о движении вертикально расположенного фигуриста 16
2.1 Описание модели фигуриста, используемой для решения неголономной задачи 16
2.2 Уравнение неголономной связи, возникающей при движении фигуриста 17
2.3 Уравнения Маджи движения фигуриста 19
2.4 Уравнения Удвадиа-Калабы движения фигуриста 20
Глава 3. Определение механических характеристик модели фигуриста и численное интегрирование уравнений Маджи 21
3.1 Определение длин и масс частей тела 21
3.2 Определение центра масс и подбор углов 22
3.3 Определение кинетической энергии системы 22
3.4 Численное интегрирование уравнений Маджи движения фигуриста 24
Заключение 26
Список литературы 27
Приложение
Фигурное катание - одно из самых зрелищных видов спорта, которое является популярным во всем мире. Соревнования по фигурному катанию с каждым годом собирают всё большее число зрителей.
В основе движения фигуриста лежат сложные механические принципы. В процессе обучения фигурист учится интуитивно управлять физическими свойствами своего тела и движения в целом - положением центра масс, импульсом, инерцией и т.д. Для выполнения сложных элементов он меняет положение своего туловища и конечностей, то есть использует их относительное движение.
Изменение характеристик тела фигуриста приводит к изменению траектории конька. Описание этого механизма управления траекторией конька является весьма сложной задачей, не имеющей полного научного обоснования до сих пор. Отсутствие теоретического описания данной системы проявляется и в методах, используемых при обучении фигурному катанию. Например, при изучении нового элемента выступления фигурист часто экспериментирует с техникой его выполнения до тех пор, пока не запомнит физические ощущения при удачном исполнении.
В данной работе предполагается, что фигурист в течение всего движения расположен вертикально, то есть не наклоняет корпус вперед и назад. Помимо этого, считаем, что фигурист таким образом регулирует свой центр тяжести, что он всегда лежит над коньком, а точнее - над точкой контакта лезвия с поверхностью льда. Также подразумевается, что положение конечностей и корпуса фигуриста не меняется от одного отталкивания коньком ото льда к другому.
Ограничение, состоящее в том, что фигурист может осуществлять перемещение только вдоль конька, приводит к модели, описываемой неголономной механикой.
Подобное скольжение изучается ниже с помощью двух подходов. В первом строятся дифференциальные уравнения Лагранжа второго рода с неопределенными множителями [4, 5] относительно всех обобщенных координат. Для исключения неопределенного множителя используется неголономное уравнение связи. В итоге для описания движения получаем уравнения Удвадиа-Калабы.
Во втором подходе используются очень удобные для исследования движения неголономной системы уравнения Маджи, которые в дальнейшем и будут применяться для описания результатов.
В главе 1 “Основные сведения из классической неголономной механики” приведена основная теоретическая часть, используемая для описания несвободного движения точки - описывается неголономная связь первого порядка, вводится понятие изображающей точки. С помощью понятия изображающей точки выведены два вида уравнений для описания движения неголономных систем - Удвадиа-Калабы и Маджи.
В Главе 2 “Неголономная задача о движении вертикально расположенного фигуриста” уравнения Удвадиа-Калабы и Маджи используются для получения систем дифференциальных уравнений, описывающих движение фигуриста.
Глава 3 “ Определение механических характеристик модели фигуриста и численное интегрирование уравнений Маджи” посвящена получению аналитических выражений, характеризующих движение фигуриста, и численному интегрированию системы дифференциальных уравнений Маджи с помощью пакета Wolfram Mathematica. Путем использования инструментов этого же пакета строится анимация движения конька.
В данной работе исследовано движение фигуриста по льду при некоторых допущениях, которые описаны в введении.
Прежде всего, описан теоретический аппарат неголономной механики, необходимый для получения уравнений движения. Само движение фигуриста описано двумя способами - с помощью уравнений Удвадиа-Калабы и уравнений Маджи.
Для исследования движения были использованы уравнения Маджи. Эти уравнения были численно проинтегрированы с помощью пакета Wolfram Mathematica. Также с помощью этого пакета были получены графики движения и построена анимация движения конька.
