Центральная предельная теорема является одним из ключевых утверждений теории вероятностей в силу простоты формулировки и широкого спектра применения. Изначально появившаяся при изучении схемы Бернулли, она была доказана для произвольных независимых одинаково распределенных случайных величин, а затем распространена на стационарные случайные процессы.
Однако для ее справедливости от стационарного процесса необходимо требовать довольно сильные дополнительные условия. Существует немало контрпримеров "хороших” случайных последовательностей, для которых не выполняется центральная предельная теорема.
Для преодоления этих трудностей в работе Темпельмана [4], было введено понятие рандомизации случайного процесса, которое позволило значительно ослабить различные условия зависимости, необходимые для стандартной центральной предельной теоремы. В результате чего в этой же работе автором была доказана серия ”рандомизированных” центральных предельных теорем в случае, когда случайный процесс удовлетворяет моментному условию E[(X(0))2+] <то. Впоследствии в статье Темпельмана и Давыдова [5] это условие было ослаблено до E[(X(0))2] <то.
Следующий естественный шаг в изучении рандомизированных стационарно связанных случайных величин - изучить вопрос об их сходимости к устойчивым законам с показателем а< 2. Главным инструментом при доказательстве такой сходимости независимых одинаково распределенных величин является условие регулярного изменения, требующее определенного поведения хвостов распределения процесса X.
В данной работе рассматриваются различные условия зависимости случайной последовательности X = (Xi, i ЕZ), которые необходимо добавить к условию регулярного изменения, чтобы имела место слабая сходимость суммы случайных величин, полученных из процедуры рандомизации, к устойчивым законам.
В работе исследована слабая сходимость случайных величин, полученных в результате рандомизации стационарной случайной последовательности, к устойчивым законам с показателем а < 2. Были найдены достаточные условия сильного перемешивания на случайную последовательность, чтобы эта сходимость имела место.
Куда можно двигаться в дальше в изучении данного вопроса? Результаты, полученные в данной работе, в дальнейшем планируется обобщить на многомерный случай и на случай непрерывного времени. Также можно найти применения полученных результатов в смежных областях, например, изучить вопрос сходимости точечных процессов, построенных с помощью рандомизированных случайных величин.
