ВВЕДЕНИЕ 3
2. ОГРАНИЧЕННАЯ МЕХАНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА 18
3. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ 20
4.ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ B И О 25
4.1. ПЕРВЫЙ СПОСОБ 25
4.2 ВТОРОЙ СПОСОБ 28
5. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ 31
6. ВЫВОД 41
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 42
Многие из задач, стоящих перед физиками, инженерами и прикладными математиками, связаны с такими трудностями, как нелинейные определяющие уравнения, переменные коэффициенты и нелинейные граничные условия на сложных известных или неизвестных границах, что исключает их точное решение. Следовательно, решения аппроксимируются с использованием численных методов, аналитических методов и их комбинаций. Среди аналитических методов ведущее место занимают систематические методы возмущений (асимптотических разложений) по малому или большому параметру, или координате.
Точные решения редко встречаются во многих разделах механики жидкости, механики твердого тела, движения и физики из-за нелинейностей, неоднородностей и общих граничных условий. Поэтому инженеры, физики и прикладные математики вынуждены находить приближенные решения стоящих перед ними задач. Эти приближения могут быть чисто числовыми, чисто аналитическими или комбинацией числовых и аналитических методов.
Для получения более точных приближенных решений нелинейных задач в области техники, прикладной математики, физических и социальных наук было разработано множество аналитических или полуаналитических методов. Многие исследователи пытались найти приближенные решения, используя эти аналитические методы. Аналитические методы, которые были разработаны для решения сильно нелинейных осцилляторов, включают итерационные методы. В которых модифицированные решения некоторых нелинейных осцилляторов были получены на основе классической итерационной процедуры. С использованием ряда Фурье и всех его членов (иногда приблизительно) на каждом итерационном шаге. Третья и четвертая приблизительные частоты различных нелинейных задач хорошо согласуются с точными значениями. Был представлен новый метод аналитического решения гармонического осциллятора Дуффинга. Метод получен путем объединения метода Ньютона с методом гармонического баланса. Используя метод, можно получить линейные алгебраические уравнения вместо нелинейных алгебраических уравнений. Сложность метода ГБ значительно упрощается. Повторение процедуры приводит к быстрой сходимости относительно точного решения. Результаты действительны для всего диапазона амплитуд колебаний, включая предельные случаи, когда амплитуда приближается к нулю и бесконечности.
Так же был включен вариационный метод итераций, состоящий из трех стандартных алгоритмов для решения дифференциальных уравнений, интегро-дифференциальных уравнений, дробно-дифференциальных
уравнений, фрактальных дифференциальных уравнений, дифференциально- разностных уравнений и дробных / фрактальных дифференциальноразностных уравнений. Приведены физические интерпретации дробного исчисления и фрактальной производной и обсуждается применение к уравнениям с дискретной решеткой. Точные решения многих нелинейных уравнений могут не иметь никакого физического смысла, подчеркивается важность поиска приближенных решений, которые удовлетворяют как уравнениям, так и соответствующим начальным / граничным условиям. Метод вариационной итерации особенно подходит для решения такого рода задач. Также обсуждались приближенные начальные / граничные условия и точечные граничные начальные / условия, причем метод вариационной итерации способен восстанавливать правильные начальные / граничные условия и находить решения одновременно....
В данной работе мы рассмотрели класс нелинейных уравнений для осцилляторов, которые расширяют уравнение для осцилляторов Дуффинга с помощью члена, являющегося квадратичным мономом по скорости; с коэффициентом, рационально зависящим от позиции. Представив простую механическую систему как типичную систему, описываемую этим уравнением, мы занялись аналитическим приближением ее периодических решений. Мы выполнили эту задачу, используя комбинацию линеаризации Ньютона и гармонического баланса. Анализ результатов, полученных нами при двух различных применениях метода, показывает, что лучше решать уравнение в его рациональной форме, чем манипулировать им перед применением гармонического баланса. Наконец, поскольку класс уравнений охватывает как изохронные, так и неизохронные осцилляторы, из наших результатов следует, что применение приближенных методов к решению уравнений нелинейных осцилляторов не может восстановить амплитудночастотную независимость изохронных осцилляторов. Это предполагает, что изохронность осцилляторов следует исследовать, когда это возможно, прежде чем приступать к аппроксимации их периодических действий.
