Введение. 2
1.1. Обзор основных результатов 2
1.2. Соглашение об обозначениях 3
2. Предварительные сведения 3
3. Расстояние между шарами разных размерностей 5
3.1. Пример-иллюстрация 5
3.2. Оценка расстояния снизу 8
4. Сравнение метрик dGHи pBM 10
Список литературы 21
Основной объект работы — расстояние по Громову-Хаусдорфу между шарами конечномерных нормированных пространств. Определения и связанные утверждения можно найти в книге [1] в главе 7.
Работа во многом мотивирована обратными задачами. Предположим, что мы наблюдаем набор данных X, представляющий собой компактное метрическое пространство, и у нас есть основания предполагать за ним какую-то структуру (например, что X — нормированное). Наблюдая точки A С X с небольшой погрешностью, мы строим конечное метрическое пространство A1.В метрике Громова-Хаусдорфа наблюдаемое пространство A'оказывается близко к X .И вопрос в том, можно ли по наблюдаемым данным восстановить тонкие инварианты исходного пространства (например, размерность или норму). Известная теорема Громова (см. [2], теорема 8.19) при определенных ограничениях на геометрию римановых многообразий утверждает, что если два римановых многообразия близки по Г-Х, то между ними существует диффеоморфизм с билипшицевой константой, близкой к единице. В настоящей работе доказан аналогичный результат для нормированных пространств, раздел 4. В качестве первоначальной меры близости нормированных пространств по Г-Х используется расстояние между их единичными шарами, подход заимствован из [3].
В разделе 3 представлена оценка расстояния по Громову-Хаусдорфу dGHмежду парой нормированных шаров разных размерностей. Кроме упомянутых обратных задач, рассматриваемые в работе вопросы связаны с исследованием интерполяции гладких многообразий. В статье [3] показано, что расстояние dGH(Bn,Bm),где Bnи Bm— единичные евклидовы шары разных размерностей, отделено от нуля, см. лемму 4.2. В нашей работе лучшая оценка получена за счет более простого и общего метода построения непрерывных приближений почти-изометрий.
