Помощь студентам в учебе
УСТОЙЧИВОСТЬ И ХАОТИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ В ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ ДРОБНОГО ПОРЯДКА
|
Введение 5
Постановка задачи 7
Глава 1. Основные определения и вспомогательные утверждения ... 8
1.1. Элементы дробного исчисления 8
1.2. Дифференциальные уравнения дробного порядка 9
1.3. Разностные уравнения дробного порядка 11
1.4. Динамические системы и аттракторы 13
Глава 2. Динамические системы дробного порядка 15
2.1. Динамическая система, порожденная дифференциальным уравнением дробного порядка 15
2.1.1. Трудности задания динамической системы в евклидовом пространстве 15
2.1.2. Динамическая система в Банаховом пространстве 17
2.2. Динамическая система порожденная разностным уравнением дробного
порядка 18
Глава 3. Алгоритм расчета ляпуновских показателей для систем дробного порядка 22
3.1. Определения 22
3.1.1. Ляпуновские показатели и размерность 22
3.1.2. Вычисление ляпуновской размерности аттракторов в системах
дробного порядка 26
3.2. Результаты 32
3.2.1. Непрерывный случай 32
3.2.2. Дискретный случай 33
Заключение 36
Список литературы 38
Приложение А. Код на MATLAB для моделирования траекторий и подсчета ляпуновских показателей в случае систем с непрерывным временем 42
Приложение Б. Код на MATLAB для моделирования траекторий и подсчета ляпуновских показателей в случае систем с дискретным временем
Постановка задачи 7
Глава 1. Основные определения и вспомогательные утверждения ... 8
1.1. Элементы дробного исчисления 8
1.2. Дифференциальные уравнения дробного порядка 9
1.3. Разностные уравнения дробного порядка 11
1.4. Динамические системы и аттракторы 13
Глава 2. Динамические системы дробного порядка 15
2.1. Динамическая система, порожденная дифференциальным уравнением дробного порядка 15
2.1.1. Трудности задания динамической системы в евклидовом пространстве 15
2.1.2. Динамическая система в Банаховом пространстве 17
2.2. Динамическая система порожденная разностным уравнением дробного
порядка 18
Глава 3. Алгоритм расчета ляпуновских показателей для систем дробного порядка 22
3.1. Определения 22
3.1.1. Ляпуновские показатели и размерность 22
3.1.2. Вычисление ляпуновской размерности аттракторов в системах
дробного порядка 26
3.2. Результаты 32
3.2.1. Непрерывный случай 32
3.2.2. Дискретный случай 33
Заключение 36
Список литературы 38
Приложение А. Код на MATLAB для моделирования траекторий и подсчета ляпуновских показателей в случае систем с непрерывным временем 42
Приложение Б. Код на MATLAB для моделирования траекторий и подсчета ляпуновских показателей в случае систем с дискретным временем
Начало дробного исчисления было положено в 1695 г. в письме известного французского математика Г.Ф. Лопиталя к известному немецкому математику Г.В. Лейбницу [1], когда Лопиталь вынес на обсуждение вопрос о возможности взять производную вида '-^j = Dny,где п = 1/2. Лейбниц, который является основоположником символической записи дифференциала для натуральных степеней, заявил, что это приведет к парадоксу, но пророчески добавил "Из этого кажущегося парадоксом суждения однажды могут получиться потрясающие открытия". Как оказалось, он был прав — изучение математических моделей и систем дробного порядка до сих пор привлекает внимание научного сообщества и является актуальной темой [2-5].
Дробная динамика (fractional dynamics [3]) является областью изучения поведения объектов и систем с использованием дифференциальных или разностных операторов дробных порядков. Ее широкое применение в науке и технике и исследование в рамках теории динамических систем привели к новым результатам, которые привлекли внимание широкого круга специалистов, в области математики, физики и другие [5]. В отличие от моделей с целочисленным порядком, модели с дробным порядком имеют важные свойства, характерные для ряда реальных процессов в природе и технике, такие как, например, долговременная память и степенная пространственная нелокальность взаимодействия. Это делает данные модели более реалистичными при исследовании и решении прикладных задач. Известными примерами таких задач являются:
• Изучение процессов ползучести и релаксации для реальных неоднородных механических сред [6]. Как известно, в общем случае такие процессы являются нелинейными как в пространстве, так и во времени. Применение производных дробного порядка в уравнениях состояния вязкоупругих сред позволяет отобразить и учесть как неоднородную структуру вязкого и упругого элементов, так и неоднородность механических процессов по времени.
• Рассмотрение поведения систем на фрактальных структурах [4]. Зачастую в физических задачах при малом масштабе появляются объекты, имеющие фрактальную природу.
• Применение дробного исчисления и моделей дробного порядка в электрической схемотехнике [7]. Оказалось, что системы дробного порядка дают, например, более точное описание моделей конденсаторов, поскольку идеальных конденсаторов целого порядка не существует. Поскольку порядки большинства конденсаторов обычно близки к 1, их часто рассматривают как 1, пренебрегая их характеристиками дробного порядка. Однако обнаружено, что некоторые конденсаторы и катушки индуктивности обладают сильными характеристиками дробного порядка, например, порядок суперконденсаторов и катушек реле намного меньше единицы.
Видно, что во всех приведенных случаях операторы дробного порядка оказываются более приемлемыми в сравнении с классическими подходами.
Выделим также некоторые работы, чтобы еще раз подчеркнуть актуальность изучения данной темы. Так, например, в работе [8], опубликованной в журнале IEEE Transactions on Circuits and Systems (импакт фактор 3.934) изучается вопрос существования хаотического аттрактора в системе Чуа дробного порядка, в работе [4] журнала Physical Review Letters (импакт фактор 9.227) рассматривается хаотическая динамика в системе Лоренца дробного порядка, а в работе [9] из журнала Physica A: Statistical Mechanics and its Applications (импакт фактор 2.5) затронута тема устойчивости в системе Рёсслера. Публикации имеют 1041, 850 и 770 цитирований в системе Google Scholar, соответственно. Несмотря на то, что раздел дробной динамики весьма актуален в современном научном мире, из-за сложности определения производной (и разностного оператора) при исследовании систем дробного порядка, упор в первую очередь делается на моделирование систем и расчет численного значения соответствующих показателей, описывающих эволюцию системы.
В данной выпускной квалификационной работе мы сфокусируемся на вопросах, которым раньше уделялось меньше внимания: разберемся каким образом дифференциальные и разностные уравнения дробного порядка порождают динамические системы, уделим отдельное внимание вопросам ограниченности, существования и единственности решений [10], и переносу методов вычисление ляпуновских показателей и ляпуновской размерности.
Постановка задачи
Таким образом, в рамках данной работы исследуются следующие задачи:
1. Обсуждение вопроса порождаемости динамической системы для уравнений дробного порядка в непрерывном и дискретном случаях.
2. Разработка алгоритма расчета траекторий системы дробного порядка в дискретном случае.
3. Реализация алгоритмов расчета ляпуновских показателей для временных рядов, полученных из траекторий динамических систем дробного порядка в дискретном и непрерывном случаях.
4. Применение полученных алгоритмов для систем дробного порядка в дискретном и непрерывном случаях на примере системы Лоренца, Хенона и логистического отображения.
В следующей главе предлагается ввести все базовые определения, о которых говорилось выше.
Дробная динамика (fractional dynamics [3]) является областью изучения поведения объектов и систем с использованием дифференциальных или разностных операторов дробных порядков. Ее широкое применение в науке и технике и исследование в рамках теории динамических систем привели к новым результатам, которые привлекли внимание широкого круга специалистов, в области математики, физики и другие [5]. В отличие от моделей с целочисленным порядком, модели с дробным порядком имеют важные свойства, характерные для ряда реальных процессов в природе и технике, такие как, например, долговременная память и степенная пространственная нелокальность взаимодействия. Это делает данные модели более реалистичными при исследовании и решении прикладных задач. Известными примерами таких задач являются:
• Изучение процессов ползучести и релаксации для реальных неоднородных механических сред [6]. Как известно, в общем случае такие процессы являются нелинейными как в пространстве, так и во времени. Применение производных дробного порядка в уравнениях состояния вязкоупругих сред позволяет отобразить и учесть как неоднородную структуру вязкого и упругого элементов, так и неоднородность механических процессов по времени.
• Рассмотрение поведения систем на фрактальных структурах [4]. Зачастую в физических задачах при малом масштабе появляются объекты, имеющие фрактальную природу.
• Применение дробного исчисления и моделей дробного порядка в электрической схемотехнике [7]. Оказалось, что системы дробного порядка дают, например, более точное описание моделей конденсаторов, поскольку идеальных конденсаторов целого порядка не существует. Поскольку порядки большинства конденсаторов обычно близки к 1, их часто рассматривают как 1, пренебрегая их характеристиками дробного порядка. Однако обнаружено, что некоторые конденсаторы и катушки индуктивности обладают сильными характеристиками дробного порядка, например, порядок суперконденсаторов и катушек реле намного меньше единицы.
Видно, что во всех приведенных случаях операторы дробного порядка оказываются более приемлемыми в сравнении с классическими подходами.
Выделим также некоторые работы, чтобы еще раз подчеркнуть актуальность изучения данной темы. Так, например, в работе [8], опубликованной в журнале IEEE Transactions on Circuits and Systems (импакт фактор 3.934) изучается вопрос существования хаотического аттрактора в системе Чуа дробного порядка, в работе [4] журнала Physical Review Letters (импакт фактор 9.227) рассматривается хаотическая динамика в системе Лоренца дробного порядка, а в работе [9] из журнала Physica A: Statistical Mechanics and its Applications (импакт фактор 2.5) затронута тема устойчивости в системе Рёсслера. Публикации имеют 1041, 850 и 770 цитирований в системе Google Scholar, соответственно. Несмотря на то, что раздел дробной динамики весьма актуален в современном научном мире, из-за сложности определения производной (и разностного оператора) при исследовании систем дробного порядка, упор в первую очередь делается на моделирование систем и расчет численного значения соответствующих показателей, описывающих эволюцию системы.
В данной выпускной квалификационной работе мы сфокусируемся на вопросах, которым раньше уделялось меньше внимания: разберемся каким образом дифференциальные и разностные уравнения дробного порядка порождают динамические системы, уделим отдельное внимание вопросам ограниченности, существования и единственности решений [10], и переносу методов вычисление ляпуновских показателей и ляпуновской размерности.
Постановка задачи
Таким образом, в рамках данной работы исследуются следующие задачи:
1. Обсуждение вопроса порождаемости динамической системы для уравнений дробного порядка в непрерывном и дискретном случаях.
2. Разработка алгоритма расчета траекторий системы дробного порядка в дискретном случае.
3. Реализация алгоритмов расчета ляпуновских показателей для временных рядов, полученных из траекторий динамических систем дробного порядка в дискретном и непрерывном случаях.
4. Применение полученных алгоритмов для систем дробного порядка в дискретном и непрерывном случаях на примере системы Лоренца, Хенона и логистического отображения.
В следующей главе предлагается ввести все базовые определения, о которых говорилось выше.
В рамках данной работы нами была сделана попытка рассмотреть и проанализировать дифференциальные и разностные уравнения дробного порядка в рамках теории динамических систем. Мы сфокусировались на вопросах, которым раньше уделялось меньше внимания: разобрались каким образом дифференциальные и разностные уравнения дробного порядка порождают динамические системы, а также уделили отдельное внимание вопросам ограниченности, существования и единственности решений, и переносу методов вычисление ляпуновских показателей и ляпуновской размерности.
Далее были применены готовые (в непрерывном случае) и разработаны новые (в дискретном случае) алгоритмы для расчета траекторий - их применение было проиллюстрировано на аналогах известных систем с использованием дробного порядка. Основной целью данной работы было продемонстрировать математический подход к определению динамических систем дробного порядка, основанный не на моделировании, а с использованием аналитических результатов.
Итого, в работе были получены следующие результаты:
1. Рассмотрен вопрос порождаемости динамической системы для уравнений дробного порядка в непрерывном и дискретном случаях.
2. Разработан алгоритм расчета траекторий системы дробного порядка в дискретном случае.
3. Реализован алгоритм расчета ляпуновских показателей для временных рядов, полученных из траекторий динамических систем дробного порядка в дискретном и непрерывном случаях.
4. Полученные алгоритмы были применены для систем дробного порядка в дискретном и непрерывном случаях на примере системы Лоренца, Хенона и логистического отображения.
Результаты данной ВКР были представлены на LI международной научной конференции аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» Control Processes and Stability (CPS’20), 20 - 24 апреля 2020 (по результатам конференции была выпущена публикация, индексируемая РИНЦ), международной конференции «Science and Progress-2020» 10 - 12 ноября 2020, всероссийской научной конференции по проблемам информатики «СПИСОК-2022» 27-29 апреля 2022 (по итогам доклада готовится публикация).
В дальнейшем, в аспирантуре планируется исследовать вопрос диссипативности в полученных динамических системах, а также обобщить аналитический подход Г.А. Леонова к оценке ляпуновской размерности аттракторов на случай систем дробного порядка. Также планируется исследовать вопрос существования скрытых аттракторов [46] в системах дробного порядка.
Далее были применены готовые (в непрерывном случае) и разработаны новые (в дискретном случае) алгоритмы для расчета траекторий - их применение было проиллюстрировано на аналогах известных систем с использованием дробного порядка. Основной целью данной работы было продемонстрировать математический подход к определению динамических систем дробного порядка, основанный не на моделировании, а с использованием аналитических результатов.
Итого, в работе были получены следующие результаты:
1. Рассмотрен вопрос порождаемости динамической системы для уравнений дробного порядка в непрерывном и дискретном случаях.
2. Разработан алгоритм расчета траекторий системы дробного порядка в дискретном случае.
3. Реализован алгоритм расчета ляпуновских показателей для временных рядов, полученных из траекторий динамических систем дробного порядка в дискретном и непрерывном случаях.
4. Полученные алгоритмы были применены для систем дробного порядка в дискретном и непрерывном случаях на примере системы Лоренца, Хенона и логистического отображения.
Результаты данной ВКР были представлены на LI международной научной конференции аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» Control Processes and Stability (CPS’20), 20 - 24 апреля 2020 (по результатам конференции была выпущена публикация, индексируемая РИНЦ), международной конференции «Science and Progress-2020» 10 - 12 ноября 2020, всероссийской научной конференции по проблемам информатики «СПИСОК-2022» 27-29 апреля 2022 (по итогам доклада готовится публикация).
В дальнейшем, в аспирантуре планируется исследовать вопрос диссипативности в полученных динамических системах, а также обобщить аналитический подход Г.А. Леонова к оценке ляпуновской размерности аттракторов на случай систем дробного порядка. Также планируется исследовать вопрос существования скрытых аттракторов [46] в системах дробного порядка.