Введение 3
0.1 Обзор работы и использованная литература 3
0.2 Сведение уравнений динамики к полиномиальной системе 4
0.3 Пошаговый метод рядов Тейлора 6
0.4 Кусочно-полиномиальное управление движением тела 10
Глава 1. Постановка задачи 11
1.1 Обозначения и определения 11
1.2 Формулировка задачи 11
Глава 2. Построение минимальной оболочки 12
Глава 3. Сведение уравнений динамики к полиномиальной форме 13
3.1 Задача N тел 13
3.2 Возмущенная и невозмущенная задача двух тел 15
Глава 4. Численные эксперименты. Задача Nтел 18
Глава 5. Численное интегрирование 21
5.1 Возмущенная и невозмущенная задача двух тел 21
5.2 Задача N тел. Сравнение полиномиальных систем разного порядка 22
Заключение и Выводы 24
Список литературы 25
Приложения I, II, III 26
Приложение I: Программа построения минимальной оболочки и схемы 26
Приложение II: Задача Nтел. Время вычисления правых частей системы 27
А. Время вычисления правых частей системы пятой степени 27
B. Время вычисления правых частей системы четвертой степени 31
C. Время вычисления правых частей системы третьей степени 35
D. Время вычисления правых частей исходной системы 38
Приложение III. Программа оценки эффективности схем 39
Метод рядов Тейлора является одним из самых популярных численных методов для решения обыкновенных дифференциальных уравнений динамики, которые можно свести к полиномиальной форме. В главах 1, 2 и 3 рас-смотрены основные идеи ускорения численного интегрирования полиномиальных систем. В главах 4 и 5 проводятся непосредственно численные эксперименты и численное интегрирования, на примере задачи Nтел.
0.1 Обзор работы и использованная литература
В разделе 0.2 рассматриваются разновидность и особенности классов уравнений и функций, при помощи которых, можно свести дифференциальные уравнения к полиномиальной форме. В разделе 0.3 рассматривается пошаговый метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений методом рядов Тейлора. Магистерская диссертация состоит из введения, глав 1, 2, 3, 4, 5, выводов, списка использованной литературы и приложении. В параграфах 0.2 и 0.3 обосновывается актуальность обыкновенных дифференциальных уравнений в полиномиальной форме в задачах динамики, и описывается метод Рядов Тейлора для таких систем уравнений.
Глава 1 содержит необходимые обозначения и определения, необходимые для формулировки поставленной задачи. Первая глава состоит из двух пара-графов. В первой параграфе описаны такие понятия, как моном, степень монома и схема. Во втором параграфе сформулирована постановка задачи.
В главе 2 представлено решение поставленной задачи, которую удалость свести к задаче бинарного линейного программирования.
Глава 3 состоит из двух параграфов. В первом параграфе, при помощи ряда замен уравнение задачиNтел сводится к полиномиальной форме. Во втором параграфе сводится к полиномиальной форме задача двух тел с кусочно-полиномиальным управлением.
Использовалась литература: [1 -2].
В главе 4 представлены численные эксперименты, показывающие эффективность использования схем для численного интегрирования полиномиальных систем.
Использовалась литература: [4 -5].
Глава 5 состоит из двух параграфов. В первом параграфе рассмотрена задача двух тел с кусочно-полиномиальным управлением. Результаты ее численного интегрирования представлены в Таблице IV.Во втором параграфе рассмотрена задача трех внешних планет. Результаты ее численного интегрирования представлены в Таблице V.
Использовалась литература: [6 - 18].
Перечислим полученные результаты:
Был получен алгоритм построения схемы оптимального вычисления системы мономов третьей степени и написана соответствующая программа на языке WolframMathematica.
Задача Nтел сведена к полиномиальной системе четвертой и третьей степени, найдены оптимальные схемы для правых частей этих задач.
Проведены численные эксперименты для задачи Nтел (N=3,…,10), которые показывают эффективность перехода к полиномиальной системе и эффективность использования схем для полиномиальных систем.
Продемонстрирована численно зависимость эффективности вычислений от количества переменных и количества мономов в полиномиальных системах.
Проведены численные интегрирование для задачи трёх внешних планет и сравнение представленных полиномиальных систем.
Проведены численные эксперименты для невозмущенной задачи двух тел, при кусочно-полиномиальном возмущении.
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
