ВВЕДЕНИЕ
1 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКА
1.1 Уравнения движения
1.2 Устойчивость точки L1
1.3 Постановка задачи
2 МОДИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
2.1 Численное моделирование плоского движения
2.2 Регуляризация уравнений движения
3 ПОСТРОЕНИЕ ОБЛАСТИ БЕЗОПАСНОГО МАНЕВРИРОВАНИЯ ......... 16
3.1 Построение траекторий, близких к соударению
3.2 Численное моделирование движения на инвариантном множестве ......... 17
3.3 Численное моделирование на длительном промежутке времени
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА.
Идея освоения точек либрации системы Солнце-Земля не нова. Первые
проекты полетов были разработаны еще на заре космонавтики, и уже в 1978
году в рамках проекта ISEE-3 в окрестность L1 был выведен космический аппарат (далее КА) для наблюдения за солнечной активностью, тем самым доказывая возможность практической реализации подобных проектов и накапливая научный потенциал на основе полученных аппаратом данных. Далее
последовал целый ряд проектов [1], часть которых была направлена на освоение точки L2 системы Солнце-Земля.
Одним из проектов являлся Реликт-2, целью которого было изучение
реликтового излучения. В работе Лидова М.Л. и его учеников [2], связанной
с данным проектом, подробно рассмотрена методика построения траектории
прямого одноимпульсного полета на гало-орбиты точки L2 (L1), а также размещение КА на траектории, принадлежащей инвариантному множеству на
удалении порядка 300 тыс. км от соответствующей точки либрации.
В настоящее время группы ученых по всему миру продолжают активную разработку программ по использованию точек либрации. Среди них особого внимания заслуживает проект компании Planetary Resources, который предполагает размещение в точке либрации астероида с целью его технологической разработки по добыче полезных ископаемых, а именно воды и металлов, в частности драгоценных, тем самым рассчитывая поддержать развитие и снизить стоимость будущих экспедиций по освоению космоса [3].
В данной работе рассматривается по сути обратная в отношении к описанной в [2] задача, а именно исследование таких начальных положений в окрестности L1, при которых КА переходит на околоземную орбиту. В случае потери контроля над КА переход может происходить по траектории, близкой
к траектории соударения с Землей. Актуальность поставленной задачи возрастает при реализации проекта размещения в точке либрации астероида, который имеет значительно большие размеры и, как следствие, массу, что увеличивает угрозу и масштабы последствий его падения на Землю.
Особенностью работы является рассмотрение классической, но в общем случае неинтегрируемой задачи небесной механики. При этом в ходе работы получены приближенные численные решения, позволяющие сделать
качественные выводы о движении малых небесных тел искусственного и
естественного происхождения (далее МНТ) в окрестности L1. Отдельный интерес представляет нахождение инвариантных множеств в окрестности указанной точки. МНТ, размещенное на одном из них, сможет оставаться в окрестности L1 значительный промежуток времени, но практически данная
задача трудновыполнима.
Гамильтонова механика является одной из формулировок классической
механики Ньютона, записанной в терминах обобщенных координат и импульсов.
Гамильтонова механическая система c n степенями свободы задается
фазовым пространством размерности 2n, системой 2n дифференциальных
уравнений (уравнений Гамильтона) вида
и функцией Гамильтона, также именуемой гамильтонианом
где q – набор обобщенных координат, p – набор обобщенных импульсов, t –
время. Для консервативных систем функция Гамильтона представляет полную энергию, то есть сумму кинетической и потенциальной энергий системы.
Гамильтонова точка зрения позволяет исследовать ряд задач механики,
не поддающихся решению. Но еще большее значение имеет для приближенных методов теории возмущений в небесной механике и понимания общего
характера движения в сложных механических системах [4, 5].5
В частности, данная точка зрения применима для рассмотрения задачи
трех тел – одной из основных задач небесной механики, состоящей в описании относительного движения трех тел.
В работе исследована задача численного моделирования движения тела
малой массы в условиях круговой ограниченной задачи трех тел, определены
условия, при которых в результате ухода из окрестности коллинеарной точки
либрации L1 движение МНТ несет потенциальную угрозу падения на поверхность Земли.
В ходе выполнения работы получены следующие практические результаты:
– описана математическая модель исследуемой системы трех тел;
– найдено численное решение составленных уравнений движения тела
малой массы в окрестности коллинеарной точки либрации L1;
– сформулированы понятия областей опасного и безопасного маневрирования в окрестности точки либрации L1;
– проведена регуляризация уравнений движения, позволяющая исследовать движение малого небесного тела в окрестности Земли;
– описаны области опасного и безопасного маневрирования для плоского движения с начальными данными в точке либрации L1;
– найдено численное решение задачи Коши и показано, что смоделированное движение МНТ проходит вблизи инвариантного множества окрестности L1.
В дальнейшем необходимо рассмотреть трехмерное движения малого
небесного тела в окрестности точки либрации, выполнить численное моделирование и описать области опасного и безопасного маневрирования для данного случая.
Инвариантные множества могут быть построены для линеаризованной
системы исходных уравнений движения с дальнейшим исследованием
«функции опасности», как отмечено в работах [8-11]; для нелинейной системы (6) нахождение инвариантных множеств является трудоемкой задачей,
т.к. сводится к построению аналитических рядов от 6 переменных [12]. Ино25
гда прибегают к численному методу перебора начальных данных, что и было
представлено в данной работе.
Подобное внимание к инвариантным множествам имеет явный практический интерес – их использование позволяет значительно увеличить время
пребывания малого небесного тела в заданной окрестности точки либрации.
Помимо построения траектории приведения МНТ на инвариантное множество не менее важным является его удержание в заданной точке пространства без опасности для Земли
