0.1 Введение
0.1.1 Результаты
0.1.2 Структура работы
1 Асимптотическое пространство как бесконечномерное тензорное произведение 6
1.1 Вспомогательные сведения
1.1.1 Связь "непрерывного" и "дискретного" случая
1.1.2 Гильбертово пространство
1.1.3 Представление
1.1.4 Пространство Баргманна-Сигала
1.2 Асимптотическое пространство
2 Асимптотическое пространство как L2(R1; ρ) 21
2.1 Предварительные сведения
2.1.1 Цилиндрический множества и продакт-меры
2.1.2 Пространство Фока и разложение Винера-Ито
2.1.3 Изоморфизм Сигала
2.2 О канонических коммутационных соотношениях
2.3 Асимптотическое пространство
2.4 Заключение
3 Дополнения 36
3.1 Дополнение А. Связь с предыдущими подходами бесконечномерных тензорных произведений
3.2 Дополнение B. Матричный вид Wα
3.3 Дополнение C. Теорема Минлоса-Бохнера
3.4 Дополнение D. Производная Радона-Никодима как обобщенная функция
На данный момент существует два взгляда на математическую трактовку инфракрасных расходимостей в квантовой электродинамике — первый, который чаще всего упоминается в учебниках по квантовой электродинамике (КЭД), заключается в суммировании
вероятностей перехода из данного начального состояния во все конечные состояния, содержащие, помимо детектируемых частиц, еще и произвольное количество мягких фотонов. При таком подходе основным объектом являются не матричные элементы, а сечения;
начальные и конечные состояния трактуются несимметрично, и определение оператора
рассеяния отсутствует. Второй подход заключается в модификации пространства асимптотических состояний и подходящего определения оператора рассеяния. Основываясь на
втором подходе, в недавнем времени в ряде работ [2]-[5] были получены результаты, показывающие, что в КЭД существуют ранее не обнаруженные симметрии, тождества Уорда
для которых приводит к известной "Soft Photon Theorem", тем самым теория оказывается
внутренне замкнутой. Данная работа посвящена более детальному описанию асимптотического пространства, используемого в этом подходе.
Заявленная тема дипломной работы связана с математическими проблемами, которые возникают в квантовой теории поля. Одна из таких проблем — инфракрасные расходимости
КЭД и соответствующее асимптотическое пространство, которые исследуются в представленной работе.
Основные причины, лежащие в основе инфракрасных расходимостей, впервые были
сформулированы в работе Блоха и Нордсика [7]. В ряде работ [24] были предложены
способы получения свободных от инфракрасных расходимостей вероятностей перехода,
однако они выглядели искусственными и не логичными.
Как было замечено [21], одной из основных причин неудачных попыток являлось предположение, что асимптотические состояния содержат конечное число фотонов, а потому
принадлежат представлению Фока. На самом деле, если начальное состояние содержало
конечное число фотонов, то конечное состояние в общем случае может содержать бесконечное число фотонов. Для корректного описания такого процесса приходится рассматривать представления, неэквивалентные Фоковскому.
Первый шаг в данном направлении был сделан Чангом [6]. Он показал, что можно построить состояния, не принадлежащие гильбертову пространству представления Фока, между
которыми элементы S-матрицы являются конечными. Однако данный подход также имел
свои недостатки (введение конечной массы у фотона и наличие расходящегося фазового
2фактора - кулоновской фазы). Значительное развитие работа Чанга получила в ряде работ Киббла [8].
В работе П.П.Кулиша и Л.Д.Фаддеева [1] модифицировалось не только пространство
асимптотических состояний, но и само определение оператора рассеяния. Процедура данных построений является логическим продолжением нерелятивистской теории рассеяния
на дальнодействующем потенциале [10] и имеет простую физическую интерпретацию.
В данной работе мы исследовали асимптотическое пространство, появляющееся в КЭД, были показаны его особенности — ортогональность стандартному Фоковскому пространству, принадлежность к непрерывному представлению, описаны явно гауссовская мера и соответствующий нетривиальный продакт-коцикл, появляющийся в канонических коммутационных соотношениях в форме Вейля. Дальнейшее развитие возможно в двух направлениях: первое — исследование связи с обобщенными белыми шумами, используя базис, построенный при помощи изоморфизма Сигала когерентных состояний; второй — исследование алгебры полевых операторов/операторов рождения-уничтожения, рассмотреть ГНС-конструкцию для данной ситуации [23]. Как было показано в [12] для антикоммутационных и для коммутационных соотношений в [13] на данном пути часто возникают алгебры фон Неймана типа II и III1
