1. ВВЕДЕНИЕ
2. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И ФОРМУЛЫ
3. ПОСТРОЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
4. ЧИСЛЕННЫЙ РАСЧЁТ СПЕКТРА ОБРАТНЫХ ВРЕМЁН РЕЛАКСАЦИИ 15
5. ПОСТРОЕНИЕ ПОПРАВКИ К АНАЛИТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
7. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Будем рассматривать систему, состоящую из полярного растворителя (например, воды) и поверхностно-активного вещества (ПАВ). Молекулы ПАВ обладают гидрофильной «головой» и длинным гидрофобным «хвостом», что обуславливает характер поведения ПАВ в растворе: при достаточно низких концентрациях (ниже характерной критической концентрации мицеллобразования (ККМ)) ПАВ существует в растворе в виде отдельных молекул, тогда как при повышении концентрации молекулы ПАВ начинают агрегироваться в устойчивые структуры, называемые мицеллами. В данной работе будут рассматриваться только концентрации выше ККМ. Процесс агрегации мицелл носит флуктуационный характер, поскольку образование малых по размеру агрегатов оказывается энергетически невыгодно, как будет пояснено далее. Сперва образуются сферические мицеллы, но по мере увеличения концентрации ПАВ в растворе, сферические агрегаты, захватывая мономеры, вытягиваются, приобретая форму цилиндра. В своей работе я ограничусь не очень высокими концентрациями ПАВ, поэтому объектом моего исследования будут только мицеллы сферической формы.
Для мицеллярной системы предполагается существование двух характерных масштабов времён, соответствующих стадиям быстрой и медленной релаксации. Меня будет интересовать построение аналитической теории для расчёта спектра обратных времён быстрой релаксации, дающей схожие с численным счётом результаты. Основой для изучения кинетики агрегации и релаксации мицеллярных систем с доминирующим молекулярным механизмом изменения размера агрегатов являются уравнения Беккера-Дёринга. Обычно хорошим способом построения аналитической теории, описывающей эволюцию во времени концентраций мицелл, является переход от конечных разностей к соответствующим дифференциалам и, в случае рассмотрения только фазы быстрой релаксации, использование упрощённой параболической модели работы образования мицелл.
Для упрощения понимания проблемы и последовательности в изложении материала в первой части работы представлены известные результаты. В разделе 2 повторяются выкладки, демонстрирующие возникающее вырождение собственных значений оператора уравнения Беккера-Дёринга при некоторых концентрациях ПАВ. Аналогичное поведение было найдено аналитически не только для систем со сферическими мицеллами, но также для систем с цилиндрическими [1],[2] и сосуществующими сферическими и цилиндрическими мицеллами [3],[4].Было также несколько попыток проверить качество результатов для непрерывного кинетического уравнения для мицеллярных систем путем прямого численного анализа набора разностных уравнений. Эти результаты повторены в разделе 3. В частности, в исследовании [5] было показано, что собственные значения матрицы не пересекаются друг с другом с изменением концентрации ПАВ, а демонстрируют сложное нелинейное поведение. Различие между результатами численного расчёта обратных времён релаксации и предсказаниями аналитической теории возрастают с ростом значения
обратных времён релаксации.
В работе [6] рассматривалась одна точка вырождения, определяющая поправки к двум наименьшим обратным временам релаксации. Соответствующие расчеты аналогичны фор-мулам теории возмущений для уровней энергии в квантовой механике при наличии близколежащих уровней и определяются аналитическими выражениями. Задача настоящей работы состояла в учете последующих точек вырождения с целью выяснения, насколько такой учет может улучшить согласие результатов аналитической теории и численных расчетов спектра обратных времен релаксации спектра, так и по отношению к наименьшим (наиболее интересным) обратным временам. Задача не решается аналитически, что потребовало создания компьютерной программы расчета.
В работе были получены следующие результаты:
1. Разработана программа, позволяющая рассчитывать поправки к спектру обратных времен релаксации с учетом многих точек вырождения при определённых значениях концентрации ПАВ (c˜( 1k),k = 1,2,...).
2. Показано, что вид спектра с поправками гораздо ближе к вычисленному дискретно,
чем результаты нулевого приближения, и имеет правильное поведение в окрестности точек c˜(k)
1 .
3. На примере λ1 показано, что даже далёкие (то есть, имеющие большие номера k)
точки c˜(k)1 оказывают влияние на вид спектра
