Постановка задачи
Глава 1. Вспомогательные сведения
1.1. Функционалы полного типа
Глава 2. Основные результаты
2.1. Итеративный метод нахождения запаса устойчивости а
2.2. Графический метод нахождения а
2.3. Вычисление величины у
2.4. Программная реализация
Заключение
Список литературы
Системы дифференциально-разностных уравнений моделируют динамику широкого класса реальных явлений и процессов. Например, задача о распространении эпидемии с учетом вакцинации приводит к системе дифференциальных уравнений с запаздыванием, равным времени действия вакцины. Одними из основных параметров подобных задач является запас устойчивости заданной системы и величина перерегулирования. В зависимости от конкретной области приложения, они могут иметь различную физическую интерпретацию: так, в уже упомянутой задаче распространения эпидемии запас устойчивости определяет скорость затухания заболевания. В механических системах величина перерегулирования зачастую связана с максимальным отклонением от положения равновесия, а комбинация двух характеристик позволяет определить колебательность системы. Кроме того, наличие подобных количественных параметров дает возможность сравнивать различные решения между собой, составляя тем самым основу задач вариационного исчисления, рассматриваемых, например, в [3]. Ранее в статьях [1, 2] предложены алгоритмы оценки указанных параметров, однако их практическое применение затруднено необходимостью решения оптимизационных задач высокой размерности. Цель данной работы — разработка методов, лишенных этого недостатка.
Для систем обыкновенных дифференциальных уравнений аналогичная задача была поставлена и решена Ляпуновым в монографии [4] в 1892 году. Для более сложных классов уравнений, в том числе и для уравнений с запаздывающим аргументом, задача ставится в работах [5, 6, 9, 10]. Для ее решения применяются методы, обзор которых приведен далее.
В следующем разделе сформулирована математическая постановка задачи, введены обозначения и определения, используемые в дальнейшем, а также приведен краткий обзор существующей литературы на исследуемую тему. Основная часть работы состоит из двух глав, в которых приведены необходимые вспомогательные теоретические сведения, представлены полученные результаты и описана программная реализация алгоритма с помощью языка программирования Python, решающего поставленную задачу. Работа программы проиллюстрирована на численном примере.
В работе поставлена и решена задача нахождения запаса устойчивости системы линейных стационарных дифференциально-разностных уравнений. На основе прямого метода Ляпунова предложен алгоритм нахождения указанной величины для устойчивых систем и его программная реализация в среде Python.
В качестве направления для дальнейших исследований следует отметить возможное обобщение результатов на системы уравнений с несколькими запаздываниями разной величины, а также рассмотрение уравнений нейтрального типа.
