Введение. Обзор литературы 4
Постановка задачи 5
Нелинейная задача оптимального управления 5
Глава 1. Методы решения нелинейных задач оптимального управления 6
§1.1. Адаптивный метод 6
Линейная задача оптимального управления 7
Сведение к интервальной задаче линейного программирования . . 8
Особенности адаптивного метода 10
§1.2. Метод динамического программирования 10
Принцип оптимальности 11
Динамическое программирование 11
Глава 2. Модель макроэкономического роста 12
§2.1. Математическая постановка задачи 12
§2.2. Применение адаптивного метода 15
Сведение к ИЗЛП 16
Первый способ преобразования ограничений 18
Второй способ преобразования ограничений 19
§2.3. Численная реализация 19
§2.4. Сравнение адаптивного метода и метода динамического программирования 22
Применение метода динамического программирования 22
Результаты и выводы 23
§2.5. Сравнение симплекс-метода и адаптивного метода 26
Заключение 27
Список литературы 29
Приложение 32
Математические методы широко используются для моделирования различных систем и процессов. Некоторые параметры моделей поддаются управлению для достижения лучших результатов. В связи с этим теория оптимального управления получила широкое распространение.
Развитие теории оптимального управления связано с такими учеными, как Р. Е Калман [1], Л. С Понтрягин [2], В. И Зубов [3] и многими другими. Теория управления находит применение в различных задачах моделирования экономической динамики. Примеры можно найти в известных монографиях [4,5] и недавних работах [6-10].
Существует множество подходов к поиску оптимального управления, таких как принцип оптимальности Беллмана [4] и принцип максимума Понтрягина [2]. С возникновение вычислительных машин появилась необходимость управления в режиме реального времени, Р. Габасов и его научная школа разработали адаптивный метод [11, 12].
В данной работе мы рассмотрим два подхода к решению задач оптимального управления. Первый подход заключается в применении принципа оптимальности и составления дифференциального уравнения Беллмана [5]. Второй подход состоит в сведении задачи оптимального управления к задаче линейного программирования и нахождение решения адаптивным методом Р. Габасова. Во второй части мы рассмотрим на примере решение нелинейной задачи макроэкономического роста с нелинейными ограничениями.
Постановка задачи
Главной задачей является нахождение оптимального программного управления, доставляющее максимум (минимум) заданному функционалу и удовлетворяющего заданным ограничениям. Задачи оптимального управления могут быть как линейными так и не линейными в зависимости от вида исходной системы дифференциальных уравнений и максимизируемого (минимизируемого) функционала. Рассмотрим подробнее математическую постановку задачи.
Нелинейная задача оптимального управления
Рассмотрим общую задачу управления
max J = G(x,u,t)dt+ I (x1,t1),
u(t) Jt0
x = f (x, u, t),
x(t0) = X0, (1)
x(ti) = xi,
u(t) 2 U, t 2 [t0, t1].
Здесь управлением является u(t),а фазовой переменной x(t). В общем случае функции f (x,u,t), G(x,u,t) и I(x,t) нелинейны, а система (1) называется нелинейной задачей оптимального управления. Множество U предполагается выпуклым, компактным, а также инвариантным относительно времени.
Допустимым управлением называется кусочно-непрерывная вектор-функция времени, значения которой лежат внутри U в любой момент времени t 2 [t0,t1]. Требуется найти такое допустимое управление, удовлетворяющее системе дифференциальных уравнений (1) и доставляющее максимум функционалу J.
Для решения нелинейных задач оптимального управления можно либо свести систему к линейной и применить известные способы нахождения оптимального управления для линейных задач [11], либо погрузить нелинейную задачу в более широкий класс задач и, основываясь на принципе оптимальности, задать рекуррентное соотношение для нахождения искомого управления [5].
В ходе работы над данным проектом:
1. Изучено два подхода к решению нелинейных задач оптимального управления: адаптивный метод, использующий линеаризацию и метод динамического программирования, основанный на принципе оптимальности Беллмана.
2. Применение адаптивного метода рассмотрено на примере задачи макроэкономического роста. Построено оптимальное управление для рассмотренной задачи, результаты приведены на графиках.
3. Проведен сравнительный анализ метода динамического программирования и адаптивного метода, а также симплекс- метода для построения оптимального плана в ИЗЛП.
4. Разработан пакет программ в среде MATLAB для реализации всех этапов рассмотренного в §1.1. подхода, фрагменты которого приведены в приложении.
5. Результаты работы докладывались на следующих конференциях:
• XLIX международная научная конференция аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» Control Processes and Stability (CPS’18);
• Международная научная конференция "Динамические системы: устойчивость, управление, оптимизация"(DSSCO’18) к 100-летию со дня рождения Е.А. Барбашина, 24-29 сентября 2018 года, г. Минск (Беларусь);
• 3rdInternational Conference on Applications in Information Technology, November 1-3, 2018, Aizu-wakamatsu.
• Международная конференция "Game theory and management 2019"GTM’19.
Санкт-Петербург 03 - 05 июля 2019. Статья принята к публикации.
• 13th International Symposium on Intelligent Distributed Computing. IDC’19.
Санкт-Петербург 7-9 октября 2019. Статья принята к публикации.
6. Результаты частично опубликованы в работах [21-23].
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
