Введение 2
1. Постановка задачи 4
2. Смещение нейтральной оси 8
3. Моменты 11
4. Дифференциальные уравнения 13
5. Численный расчет 15
5.1. Упругий изгиб 15
5.2. Упруго-пластический изгиб с одной зоной пластичности 17
5.3. Случай с двумя зонами пластичности 20
6. Устойчивость вертикальной балки под действием собственного веса 23
Заключение 25
Список литературы 27
Задачи проектирования и строительства требуют создания все более сложных математических моделей конструкций, учитывающих пластические свойства материалов. Основы математической теории пластичности можно найти в работах [1], [2]. В предлагаемой математической модели предлагается учесть зависимость механических характеристик материала от знаков возникающих напряжений и вида напряженного состояния, такие материалы называют разносопротивляющимися или разномодульными [3], в научной литературе иногда используется термин SD-материалы [4], [5].
Построение предполагаемой математической модели изгиба балок заключается в принятии ряда положений, в том числе гипотезы плоских сечений, одноосности нагружения, схемы идеальной пластичности. Для задач изгиба в упругой стадии и при изотропном упруго-пластическом изгибе эти допущения позволяют построить точные решения, удовлетворяющие уравнениям равновесия и совместности деформаций [6]. Некоторые результаты для таких балок получены в [7], [8]. В случае, когда точных решений построить не удается, математические задачи теории пластичности и нелинейной упругости можно рассматривать численно [9], [10] или асимптотическими методами.
Результаты исследований прочности стержневых и балочных конструкций из особых конструкционных материалов открывают новые возможности для проектирования и возведения крупных сооружений при одновременном обеспечении их высокой надежности в условиях эксплуатации. К примеру, конструкционные решения при проектировании буровых платформ для шельфовой добычи углеводородов, увеличение мощности и размеров сооружений в судостроении, повышение параметров рабочих давлений и внешних воздействий, в том числе и ледовой нагрузки, существенно сказывается на стоимости таких конструкций и их эффективности при использовании в неблагоприятных климатических условиях. Особо остро ставится вопрос о критериях длительной механической работоспособности, прочности и надежности при работе в упруго-пластической стадии нагружения.
Построенная математическая модель позволяет изучить напряженно-деформированное состояние балки прямоугольной формы из сложного по физическим свойствам материала. Метод нахождения кривизны для разных состояний балки можно использовать при изгибе горизонтальных консолей из SD-материалов.
Оценка влияния веса показала незначительное уменьшение критического момента появления пластического шарнира. Таким образом, влиянием дополнительного изгибающего момента можно пренебречь и сильно облегчить решение задачи.
Одновременно остается вопрос о влиянии веса на поперечные напряжения в нижней части балки, т.е. вблизи заделки. Учет этих напряжений может существенно изменить напряженное состояние балки, а значит, и изменить порядок появления и развития пластических областей. Возникает необходимость дополнительного исследования о границах применимости одномерной модели при изгибе.
