Введение 3
Постановка задачи 4
Обзор литературы 6
Глава 1. Методы качественного анализа 8
Глава 2. Модели типа Лотки - Вольтерры без автоколебаний 10
2.1. Классическая модель Лотки - Вольтерры 10
2.1.1. Анализ классической модели Лотки - Вольтерры 10
2.1.2. Недостатки модели Лотки - Вольтерры 12
2.2. Обобщенная модель Лотки-Вольтерры 13
2.2.1. Анализ обобщенной модели Лотки - Вольтерры 13
2.2.2. Проверка модели на наличие предельных циклов 15
Глава 3. Обобщенная модель Лотки - Вольтерры с автоколебаниями . 19
3.1. Анализ модели Лотки - Вольтерры с автоколебаниями 19
3.2. Предельный цикл в обобщенной модели Лотки - Вольтерры .. 22
Выводы 24
Заключение 25
Список литературы 26
Приложение 27
Подавляющее большинство процессов в современном мире подчинено описанию с помощью математических моделей. Не являются исключением и процессы, протекающие в природе. Изучение структуры и функционирования биологических систем - тот важный аспект, который необходим для успешного взаимодействия человека с природой. В исследовании моделей, описывающих сосуществование биологических сообществ, следует уделить особое внимание вопросу устойчивости. Другими словами, возможности биосистем противостоять внешним возмущающим факторам.
Разработка моделей в этом направлении очень актуальна, так как потребность общества в биологических ресурсах лишь растет с течением времени, а для её удовлетворения необходимо рациональное управление имеющимися сообществами живых организмов.
Математическая модель Лотки - Вольтерры (зачастую называемая модель «хищник - жертва») является одной из наиболее популярных моделей, используемых в экологии, однако свое применение она так же нашла в биологии, медицине, социальных исследованиях, истории, радиофизике и других науках.
На основе классической модели Лотки - Вольтерры образовался целый класс моделей типа Лотки - Вольтерры, состоящий из различных обобщений и модификаций классической модели. Новые модели учитывают дополнительные факторы внешней среды и внутреннего взаимодействия видов. Однако, несмотря на многообразие уже построенных математических моделей, большинство из них не подвергалось глубокому качественному анализу, необходимому для рационального приложения их к реальным процессам.
В данной выпускной квалификационной работе была рассмотрена и проанализирована классическая модель Лотки - Вольтерры, построены фазовый портрет и график колебаний функций хищника и жертвы. Определены основные недостатки модели. На их основе взята обобщенная модель Лотки - Вольтерры, проведен ее анализ. Кроме того проведен анализ на наличие предельных циклов с помощью критерия Дюлака, который показал их отсутствие в данной модели. Построен фазовый портрет, отображающий полученные результаты.
Была выбрана обобщенная модель типа Лотки - Вольтерры, допускающая автоколебания, за счет чего и более приближенная к реальным процессам. Проведен ее анализ, а также анализ на наличие предельных циклов с помощью построения положительно инвариантной области. Вычислительный эксперимент, подтверждающий полученные результаты, был проведен на модельных примерах и отображен на графике.
Все графики были построены в прикладном пакете MatLab.
