Идентификация параметров в моделях математической экологии

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
Методы решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1. Градиентные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2. Уравнения в вариациях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3. Метод наименьших квадратов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4. Численное решение градиентных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5. Полиномиальные системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
6. Метод рядов Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
Решение задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21
Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Купить

Современная экология относится к тому типу наук, которые возникли на стыке многих научных направлений. Она отражает как глобальность современных задач, стоящих перед человечеством, так и различные формы интеграции методов направлений и научного поиска. Превращение экологии из сугубо биологической дисциплины в отрасль знания, включившую также общественные и технические науки, в сферу деятельности, основанную на решении ряда сложнейших политических, идеологических, экономических, этических и других вопросов, обусловило ей значительное место в современной жизни, сделало ее своеобразным узлом, в котором объединяются различные направления науки и человеческой практики. Экология все больше становится одной из наук о человеке и в определенном смысле интересует многие научные направления. И хотя этот процесс еще весьма далек от завершения, его основные тенденции уже достаточно отчетливо просматриваются в наше время. Именно в экологии (хотя и не только в ней) намечается вполне реальные точки соприкосновения между фундаментальными и прикладными научными областями, между теоретическими разработками и практическим их применением.
Сегодня существует вполне развитый математический аппарат для решения целого комплекса практических задач в экологии, касающихся многих ответвлений. Модели эпидемий, расселения, конкуренции, развития популяций, разнообразных взаимодействий между живыми организмами разных видов. Однако, несмотря на кажущуюся простоту их построения, главной проблемой, отнимающей большинство сил и ресурсов, является её уточнение относительно эмпирических данных, т.е. приведение её к виду, дающему наиболее точные результаты. Для этого ставится задача идентификации параметров.
Идентификация параметров – важнейший процесс в создании адекватной модели процесса или явления. Именно благодаря нему некоторая теоретическая выкладка, идея, становится действенным и полезным инструментом к познанию и описанию мира вокруг нас. Недостаточно просто знать законы, по которым работает то или иное событие, они должны быть приспособлены к каждому отдельному случаю или отразить то, что эти отдельные случаи можно объединять в классы задач, которые могут быть описаны одной моделью. За это и отвечают параметры, численные коэффициенты. Их разнообразие значений обусловлено различными условиями, влияющими на процесс. Например, модель размножения кроликов в лесу при одинаковости сути происходящего будет сильно отличаться от размножения белок в том же лесу или же тех же кроликов на луговой местности. Различная пища, потребности, уровень рождаемости и смертности – все это отражается определенными весовыми коэффициентами.
Таким образом, перед нами ставится задача: каким образом неструктурированные разнохарактерные и часто настолько сложные, что их приходится считать случайными, процессы отразить в виде чисел? Для этого необходимы долгие тщательные исследования и наблюдения, ведение статистики и выделение закономерностей. И благодаря выведенным методам, эти данные помогают выделить допустимые значения для параметров системы, которая в дальнейшем может не только подтвердить с некоторой заданной точностью имеющиеся данные, но и позволит делать определенные прогнозы и предположения о дальнейшей динамике явления.
Разумеется, поставить и решить подобные задачи требует значительных усилий. Все сводится к решению достаточно сложных дифференциальных, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. Это требует использование как аналитических, так и численных методов, доступных в наше время. Один из таких методов и будет рассмотрен в данной работе на разных моделях и при разных условиях.
Купить