Введение 3
Основные определения 5
Постановка задачи 8
Глава 1. Случай n = 2 9
Глава 2. Случай n = 3 14
Глава 3. Случай n x n 17
Глава 4. Программная реализация и примеры 22
Заключение 24
Список литературы 25
Купить

В настоящее время при изучении окружающего нас мира и построении моделей поведения объектов возникает потребность учитывать тот факт, что скорость изменения параметров экономических, биологических или физических систем может зависеть не только от состояния в данный момент времени, но и в предыдущие. В таком случае на замену обыкновенным дифференциальным уравнениям приходят системы дифференциальных уравнений с последействием, отклоняющимся или запаздывающим аргументом.
Необходимым и достаточным условием асимптотической устойчивости системы обыкновенных дифференциальных уравнений является отрицательность действительных частей всех корней характеристического полинома([6], с. 85 - 89). В случае систем дифференциальных уравнений с запаздываниями все немного труднее. Приходится оценивать отрицательность действительных частей всех корней характеристического квазиполинома([4] с. 209).
Например для системы
m
X = AX(t) + ^ BiX(t - rO
i=l
характеристический квазиполином будет иметь вид
Ф z = det (zE − А − m∑i=1 Bie-zri) (2)
Проблема заключается в том, что нахождение корней квазиполинома - задача нетривиальная. В общем случае, квазиполином имеет бесконечное количество корней. В связи с этим, приближенное вычисление корней квазиполинома не является подходящим методом для проверки на устойчивость.
Существует несколько методов для оценки отрицательности вещественных частей всех корней характеристического квазиполинома, например метод D-разбиений.
Метод D-разбиений заключается в поиске областей асимптотической устойчивости для коэффициентов характеристического уравнения (2) с помощью разбиения пространства его коэффициентов на области гиперповерхностями, точками которого являются квазиполиномы, имеющие, по крайней мере, один нуль на мнимой оси. (Такие области и называются областями D-разбиения)
В силу того, что нули характеристического квазиполинома (2) есть непрерывные функции его коэффициентов, изменение количества нулей в левой комплексной полуплоскости может произойти лишь при переходе через мнимую ось.
Однако уже при размерности 2 х 2 матриц A и B в уравнении (1) применение данного метода оказывается проблематичным.
В связи с этим и возникает потребность в разложении квазиполинома на более простые сомножители, для которых уже получены условия отрицательности всех корней.
Представленная работа будет посвящена выделению некоторых классов систем дифференциальных уравнений с последействием, для которых факторизация возможна.
Основы теории дифференциальных уравнений с запаздываниями изложены в работах [1,4]. Там же приведены основные понятия теории устойчивости систем с последействием, получено представление характеристического квазиполинома и его связь устойчивостью всей системы.
Свойства самих квазиполиномов хорошо изучены в работе [4]. Также в работе [4] можно найти некоторые полезные теоремы связанные с квазиполиномами. В работе [7] представлено определение понятия бистепени. В монографии [2] получены условия отрицательности вещественных частей всех корней квазиполинома бистепени (1,1) как с вещественными коэффициентами, так и с комплексными.
Сам же вопрос факторизации квазиполиномов пока слабо изучен. Можно найти применение такого подхода к проверке на асимптотическую устойчивость в работе [4]. В работах [5,10,11] проведено исследование условий одновременной триангулизируемости нескольких матриц, что является альтернативным подходом к разбиению сложной задачи на более простые, для которых уже получены результаты. И в работе [3] получены теоремы, решающие вопрос факторизации квазиполиномов для систем размерностью 2x2 и одним запаздыванием.
Купить