Обозначим через Во множество заданных на R функций f, локально интегрируемых и таких, что /^+1 f (х) dx = 0 для всех n Е Z. Пространство функций может быть как вещественным, так и комплексным. Конечные разности, норма и модули непрерывности f определяются равенствами
r / /
S f (х) = £(-1)'C f (х + r-2 - jiA, АГf (х) = sr f L - Г
Ilfll =supf(x), .:, (f,h)= sup 1Д f ||.
sER 0
Ю.В.Крякин [1] рассматривал следующую задачу. Пусть m Е N. Требуется найти наилучшую константу K в неравенстве
Ilf ||< K • U2m(f, 1), f Е Во,
(полагаем 0 = —^ = 0).
Для подкласса 1-периодических функций f из Во (т. е. функций с нулевым средним) точная константа в неравенстве (1) равна Cm. Оценка сверху общеизвестна и вытекает из тождества
_1
f (х) = (^ • 2/ stmf (х) di.
C2m
о
Оценка снизу установлена в [2], причем она реализована на классе четных непрерывных функций с неотрицательными коэффициентами Фурье. В общем случае Кря- кин [1] получил неравенство
W < 1^Hm, (2)
C2m
где Hm = j, и уточнил его для m =1: W2 < 0,6244 < | .В настоящей работе предлагается совсем простое доказательство конечности величин W2m и улучшается оценка (2). Именно, доказывается следующая теорема.
Теорема 1. Пусть m G N. Тогда
ТТЛ < 1 I 2m + 1 s-m ТТ /от
W2m < cm + 24m+1 C2mHm. (3)
R чпгптпгтч W. < 391
частности, w4 _д 1536, '* 6 —— 61440.
Замечание 1. Из неравенства
C™m = (2m — 1)!! < 1
22m (2m)!! V2m +1
(см., например, [3, задача 10]) следует, что оценка (3) улучшает (2) при каждом m. При m =1 неравенство (3) не ново, так как его правая часть равна Ц, что больше |. Замечание 2. По формуле Стирлинга С,, — ?*,, откуда
2 (Сй,)2 н - 1 H - 1 ln(m + 1).
Таким образом, асимптотически оценка (3) в п раз лучше, чем (2). Вопрос, можно ли в (2) заменить логарифмически растущий множитель 1 + Hm на ограниченный, остается открытым.
В работе определена оценка равномерной нормы функции, заданной на числовой прямой и имеющей нулевой интеграл между любыми целыми точками, через ее модуль непрерывности любого четного порядка. Доказательство основано на представлении погрешности полиномиальной интерполяции в виде произведения многочлена влияния на обынтегрированную разность высокого порядка.
