1. Введение 3
2. Точечные пуассоновские поля 3
3. Безгранично делимые случайные величины 6
4. Однородные процессы с независимыми приращениями 8
5. Представление решений эволюционных уравнений 11
Список литературы 15
Известно, что ряд эволюционных уравнений математической физики допускает вероятностное представление в виде математического ожидания функционала от некоторого случайного процесса.
Например, решение задачи Коши для уравнения теплопроводности в Rd
@u 1 Л /. ч
@t = 2^u, u(0,x) = '(X) допускает вероятностное представление
u(t, x) = E'(x + w(t)),
где w(t) - стандартный d—мерный винеровский процесс.
В настоящей работе мы рассматриваем другой тип эволюционных уравнений, в правой части которого содержится некоторый интегрально-разностный оператор. Для вероятностного представления решения задачи Коши для таких уравнений требуется уже более сложные случайные процессы с независимыми приращениями. Сложность их заключаются в том, что плотности одномерных распределений не выражаются через элементарные функции. Для таких процессов в работе строится представление в виде стохастического интеграла по некоторому пуассоновскому случайному полю. Также строится аппроксимация произвольных процессов с независимыми приращениями процессами с конечной спектральной мерой. Математические ожидания функционалов от таких процессов также являются решениями некоторых уравнений. Доказана теорема о сходимости решений допредельных уравнений к решению предельного уравнения.
В работе построено представление в виде стохастического интеграла по некоторому пуассоновскому случайному полю, сформирована аппроксимация произвольных процессов с независимыми приращениями процессами с конечной спектральной мерой, доказана теорема о сходимости решений допредельных уравнений к решению предельного уравнения.
