Тема: Использование случайных графов в финансовой сфере

Существуют системы, в которых элементы тесно и сложно связаны между собой. Примером такой системы может являться замкнутая группа людей, в которой один участник заразился некоторой инфек­цией. Тогда распространение инфекции в группе зависит от частоты контактов заболевшего с остальными членами группы, силы имму­нитета и прочих факторов. Аналогичным примером может служить сеть связанных компьютеров, в которой распространяется вирус, или социальные сети и распространение через них различного вирусного контента. Подобные эффекты можно увидеть и в финансовой сфере. Объектом исследования данной работы являются кросс-холдинги. Кросс-холдинг — это система, состоящая из различных организаций (например, банков), в которой участники обладают друг перед дру­гом рядом обязательств (взаимные кредиты в случае банков). Ана­логом заболевания в таком случае будет служить дефолт банка, т.е. состояние неплатежеспособности и невозможность отдавать долги. Таким образом, дефолты могут распространяться от банка к банку, а неплатежеспособность единственного банка может привести к кра­ху всей системы. Подробно системы кросс-холдингов были описаны в [1].
В качестве инструмента, который используется для исследования кросс-холдингов, были выбраны случайные графы с фиксированным распределением степеней вершин. Дело в том, что графы сами по себе удобны для представления и изучения различных систем, пред­ставимых в виде сетей, а теория случайных графов позволяет изу­чать некоторые типичные свойства подобных систем. Конкретная модель случайного графа — с фиксированным распределением сте­пеней вершин — также была выбрана неслучайно. Несмотря на то, что, пожалуй, самой известной моделью является модель случайного графа Эрдёш-Реньи (описана в [2]), она мало подходит для исследо­вания кросс-холлдингов из-за Пуассоновского распределения степе­ней вершин, которое нехарактерно для изучаемых моделей. Поэтому, как утверждается в [4], для подобных систем следует использовать схему, которая позволяет строить граф, основываясь на желаемом распределении степеней его вершин. Для этих целей была выбрана модель, предложенная Ньюменом, Строгатцем и Ватсом (мы будем ссылаться на неё по имени первого автора).
Наложение финансовой составляющей на модель случайного гра­фа Ньюмена приводит нас к модели кросс-холдингов, которая описа­на в статье Гая-Кападии [3]. В ней аппарат производящих функций объединяется с понятиям уязвимости банка, и проводятся исследо­вания соответствующих свойств полученных систем.
С практической точки зрения интересен алгоритм программного моделирования случайного графа с заданным законом распределе­ния. Для его реализации требуется решить несколько проблем: мо­делирование случайных величин, процесс соединения вершин графа, отсеивание плохих случаев. Общая схема была взята из статьи [4]. Задача моделирования дискретной случайной величины была реше­на классическим методом Уолкера (описан в [5]).
Работа состоит из 5 параграфов. Во втором описываются различ­ные модели случайных графов и аппарат производящих функций, который позволяет их исследовать. В третьем параграфе говорится о модели кросс-холдинга и о применении в ней теории случайных графов. Некоторые теоретические результаты, полученные в этих двух параграфах, в дальнейшем сравниваются с данными, получен­ными в результате моделирования. В четвертом параграфе идёт речь о непосредственно моделировании случайных графов и экономиче­ских процессов на них. В заключительном, пятом, параграфе анали­зируются результаты проведенного моделирования.
Купить

Ниже представлены графики, иллюстрирующие некоторые резуль­таты моделирования. Для значения каждого параметра была взя­та выборка из 50 графов. В начале рассмотрим влияние изменения параметров распределения непосредственно на структуру графа, а именно на число ребер:
График 1
График 1 иллюстрирует явную линейную зависимость между чис­лом вершин и числом ребер в графе при заданном в (46) распреде­лении.
Далее представлены графики зависимости числа ребер от смещения параметров Tin, Tout и максимальной полустепени в графе:
График 2
График 3
График 4
Далее рассмотрим влияние различных параметров распределения на количество банков, которые стали неплатежеспособными после де­фолта случайно выбранного в графе банка. Это количество выража­ется в процентном соотношении относительно размера всей системы:
График 5
Как видно из графика 5, процент банков, объявивших дефолт при таких параметрах распределения, примерно одинаков для всех зна­чений N и находится в районе 42 процентов. Причем, если увеличить минимальное значение полустепени с 4 до 5, то при тех же пара­метрах моделирования дефолт исходного банка никак не влияет на систему.
График 6
График 6 иллюстрирует тот факт, что с увеличением Tin количество дефолтов становится чрезвычайно большим, что позволяет сделать вывод о желательном понижении этого параметра.
График 7
Небольшие ограничения максимальной степени (подразумевается как полустепень захода, так и полустепень выхода) графа не приводят к существенным изменениям в проценте неплатежеспосбных банков:
График 8
График 9
График 9 показывает, что независимо от количества вершин, мат. ожидание и среднее значение полустепени захода вершины при дан­ном распределении почти совпадают.
Однако значения мат. ожидания и среднего значения полустепени выхода, напротив, стабильно различаются на достаточно большую величину:
График 10
В следующих графиках размер выборки был увеличен до 100. Мож­но посчитать значение Vj, которое было выведено в (32), как отно­шение числа банков системы с полустепенью захода j, для которых выполнено (31), к общему числу банков с полустепенью захода j. В графиках представлены зависимости среднего числа различных по­лустепеней захода j, для которых Vj = 1. Причем при q =1 это число стабильно равно 2, а значения j при этом равны 4 и 5, т. е. это две минимально возможные полустени захода. Аналогичные эффек­ты наблюдаются и для остальных значений q. Эти данные лишний раз иллюстрируют тот факт, что надежность системы укрепляется вместе с ростом полустепеней банков.
q = 0.95:
График 11
q = 0.9:
График 12
q = 0.5:
График 13
Кроме количества банков, которые объявляют дефолт, интересно по­смотреть и среднюю глубину волны дефолтов (под глубиной подра­зумевается наибольшее расстояние от первого банка, объявившего дефолт, до некоторого другого банка, до которого дошла волна де­фолтов):
График 14
Максимальные по выборке значения глубины дефолта:
График 15.
Купить